Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 6, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\]
dla każdego \(x\in\mathbb R\).
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\), których różnica jest równa \(1\).**
Odpowiedź
\(p\in\left\{\frac14,\frac12\right\}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(f\) ma być funkcją kwadratową z dwoma różnymi miejscami zerowymi, wymagamy \(p\ne0\) i \(\Delta>0\). Mamy
\[\Delta=(p-1)^2-4p(1-2p)=(3p-1)^2,\]
więc \(p\ne\frac13\). Warunek różnicy miejsc zerowych zapisujemy za pomocą wzorów Viète'a:
\[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1.\]
Ponieważ
\[x_1+x_2=-\frac{p-1}{p},\qquad x_1x_2=\frac{1-2p}{p},\]
otrzymujemy
\[\left(-\frac{p-1}{p}\right)^2-4\frac{1-2p}{p}=1,\]
czyli
\[8p^2-6p+1=0.\]
Stąd \(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\). Obie wartości spełniają pozostałe warunki.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie pełnego zbioru \(p\in\{\frac14,\frac12\}\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie warunków \(\Delta>0\) oraz \(|x_1-x_2|=1\) w zależności od \(p\)
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z tych dwóch warunków
**1 pkt** – zapisanie koniecznych i dostatecznych warunków: \(p\ne0\), \(\Delta>0\), \(|x_1-x_2|=1\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; prowadzenie rozumowań kilkuetapowych i uzasadnianie ich poprawności.
**Wymagania szczegółowe:**
III.3R i III.5R stosowanie wzorów Viète'a oraz analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem, w tym warunków dotyczących liczby i własności rozwiązań.
