Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 12.2, maj 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2-6x\]
dla każdej liczby dodatniej \(x\).
**Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia.**
*Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).*
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa
\[-4\]
i jest osiągana dla \(x=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(x>0\) rozważamy funkcję
\[f(x)=x^4+x^2-6x.\]
Jej pochodna jest równa
\[f'(x)=4x^3+2x-6.\]
Rozkładamy wielomian na czynniki:
\[4x^3+2x-6=4(x^3-1)+2(x-1)=(x-1)(4x^2+4x+6).\]
Ponieważ \(4x^2+4x+6>0\) dla każdego \(x>0\), jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest \(x=1\). Mamy
\[f'(x)<0\quad\text{dla}\quad x\in(0,1),\]
\[f'(x)>0\quad\text{dla}\quad x\in(1,+\infty).\]
Funkcja \(f\) maleje więc w \((0,1]\) i rośnie w \([1,+\infty)\). Osiąga wartość najmniejszą dla \(x=1\):
\[f(1)=1^4+1^2-6\cdot1=-4.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\), i obliczenie wartości najmniejszej \(-4\)
**3 pkt** – uzasadnienie, np. przez badanie monotoniczności, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\)
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(4x^3+2x-6=0\): \(x=1\)
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=4x^3+2x-6\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
