Potęgi i pierwiastki
Zadanie 12.1, maj 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2-6x\]
dla każdej liczby dodatniej \(x\).
**Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie**
\[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2-6x\]
**można równoważnie przekształcić do postaci**
\[x^4+x^2-6x.\]
Odpowiedź
\[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\,x^2-6x=x^4+x^2-6x.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(x>0\) korzystamy z własności potęg i logarytmów:
\[81^{\log_3x}=(3^4)^{\log_3x}=3^{\log_3x^4}=x^4.\]
Ponadto, ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu,
\[\log_2\sqrt{27}=\log_2 3^{3/2}=\frac32\log_2 3,\]
więc
\[\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}=\log_2 3\cdot\log_3 2=\frac{\log_2 3}{\log_2 3}=1.\]
Zatem
\[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\,x^2-6x=x^4+x^2-6x.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenie całego wyrażenia do postaci \(x^4+x^2-6x\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie własności \(a^{\log_a b}=b\) i otrzymanie \(81^{\log_3x}=x^4\) albo poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. I. Sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
