Zadanie 13 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

\[C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right).\]

Prosta \(l\) ma równanie kierunkowe \(y=x-2\). Wyznaczamy jej punkty wspólne z parabolą: \[x-2=4x^2-7x+1,\] \[4x^2-8x+3=0.\] Stąd \[A=\left(\frac12,-\frac32\right),\qquad B=\left(\frac32,-\frac12\right).\] Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ\). Prosta \(AC\) jest więc nachylona pod kątem \(\alpha+45^\circ\). Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha=\frac13\), \[\operatorname{tg}(\alpha+45^\circ)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+1}{1-\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\frac13+1}{1-\frac13}=2.\] Równanie prostej \(AC\) ma postać \[y=2\left(x-\frac12\right)-\frac32=2x-\frac52.\] Ponieważ \(AB\) jest średnicą okręgu, kąt \(ACB\) jest prosty. Prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AC\), zatem ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\) i równanie \[y=-\frac12\left(x-\frac32\right)-\frac12.\] Współrzędne punktu \(C\) spełniają oba równania, więc \[2x-\frac52=-\frac12\left(x-\frac32\right)-\frac12.\] Otrzymujemy \[x=\frac{11}{10},\qquad y=2\cdot\frac{11}{10}-\frac52=-\frac3{10}.\] Zatem \[C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right).\]

**6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right)\) **5 pkt** – zapisanie układu równań wyznaczającego punkt \(C\), np. równań prostych \(AC\) i \(BC\), albo odpowiedniego równania prostej i równania okręgu **4 pkt** – zapisanie jednego kluczowego równania z dwiema niewiadomymi, np. równania prostej \(AC\), prostej \(SC\) albo okręgu \(\mathcal O\) **3 pkt** – wyznaczenie punktów \(A\), \(B\) oraz współczynnika kierunkowego prostej \(AC\), albo wyznaczenie środka lub promienia okręgu wraz z odpowiednim dalszym etapem **2 pkt** – wyznaczenie punktów \(A=\left(\frac12,-\frac32\right)\), \(B=\left(\frac32,-\frac12\right)\), albo współczynnika kierunkowego prostej \(AC\) równego \(2\), albo równoważnego istotnego etapu **1 pkt** – zapisanie równania prowadzącego do punktów przecięcia prostej i paraboli albo zależności \(a_{AC}=\operatorname{tg}(\alpha+45^\circ)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R5) Zdający korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. IX.R3) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.