Funkcja kwadratowa
Zadanie 14, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z dowolnym wierzchołkiem podstawy \(EFGH\) ma długość \(d\) (zobacz rysunek).
**a) Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).**
**b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.**
Odpowiedź
**a)** \[V(h)=2(d^2-h^2)h,\qquad h\in(0,d).\]
**b)** \[h=\frac{d}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}d.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez \(a\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ODH\):
\[d^2=h^2+|OD|^2,\qquad |OD|=\sqrt{d^2-h^2}.\]
Ponieważ \(|OD|=\frac{a\sqrt2}{2}\), otrzymujemy
\[a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}.\]
Pole podstawy jest więc równe
\[P_p=a^2=2(d^2-h^2),\]
a objętość
\[V(h)=2(d^2-h^2)h=2(d^2h-h^3),\qquad 0<h<d.\]
Liczymy pochodną:
\[V'(h)=2(d^2-3h^2).\]
Jej jedyne miejsce zerowe w dziedzinie to
\[h=\frac{d}{\sqrt3}.\]
Dla \(0<h<\frac{d}{\sqrt3}\) pochodna jest dodatnia, a dla \(\frac{d}{\sqrt3}<h<d\) ujemna. Zatem największą objętość ma graniastosłup o wysokości
\[h=\frac{d}{\sqrt3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawny wzór \(V(h)\), dziedzina i wysokość maksymalizująca objętość wraz z uzasadnieniem
**5 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej: \(h=\frac{\sqrt3}{3}d\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(V'(h)=2(d^2-3h^2)\)
**3 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(h\in(0,d)\)
**2 pkt** – wyznaczenie \(V(h)=2(d^2-h^2)h\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** geometria przestrzenna, wyznaczanie objętości graniastosłupa jako funkcji oraz optymalizacja z użyciem pochodnej. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
