Trójkąty
Zadanie 13, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) tak, że
\[|BE|=3\cdot|DE|\qquad\text{oraz}\qquad |BD|=2\cdot|AE|.\]
**Oblicz długości boków czworokąta \(ABCD\).**
Odpowiedź
\[|AB|=2\sqrt{10},\qquad |BC|=3\sqrt6,\qquad |CD|=\sqrt{10},\qquad |AD|=2\sqrt6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(ABD\) i \(BCD\) są prostokątne, więc ich wspólna przeciwprostokątna \(BD\) jest średnicą okręgu. Zatem \(|BD|=8\). Z warunków
\[|BE|=3|DE|,\qquad |BD|=2|AE|\]
otrzymujemy
\[|DE|=2,\qquad |BE|=6,\qquad |AE|=4.\]
Niech \(S\) będzie środkiem okręgu, a \(AP\) wysokością trójkąta \(ASE\). Ponieważ \(|AS|=|AE|=4\) i \(|ES|=2\), mamy \(|EP|=|PS|=1\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[|AP|^2=4^2-1^2=15.\]
Ponieważ \(|PB|=5\) i \(|PD|=3\), ponownie z twierdzenia Pitagorasa:
\[|AB|=\sqrt{15+25}=2\sqrt{10},\]
\[|AD|=\sqrt{15+9}=2\sqrt6.\]
Trójkąty \(DEC\) i \(BEA\) są podobne, a ich skala wynosi
\[\frac{|DE|}{|AE|}=\frac12.\]
Stąd
\[|CD|=\frac12|AB|=\sqrt{10}.\]
W prostokątnym trójkącie \(BCD\):
\[|BC|=\sqrt{|BD|^2-|CD|^2}=\sqrt{64-10}=3\sqrt6.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie długości: \(|AB|=2\sqrt{10}\), \(|BC|=3\sqrt6\), \(|CD|=\sqrt{10}\), \(|AD|=2\sqrt6\)
**4 pkt** – obliczenie \(|AB|\) i \(|AD|\) oraz spełnienie jednego z kryteriów CKE: \(|CE|=3\), skala podobieństwa \(\frac12\) albo poprawna zależność opisująca pozostałe boki
**3 pkt** – obliczenie \(|AB|=2\sqrt{10}\) i \(|AD|=2\sqrt6\)
**2 pkt** – obliczenie \(|AP|=\sqrt{15}\), albo \(|CE|=3\), albo skali podobieństwa \(\frac12\), albo wyznaczenie \(|DE|=2\), \(|BE|=6\), \(|AE|=4\) wraz z układem równań prowadzącym do boków
**1 pkt** – wyznaczenie \(|DE|=2\), \(|BE|=6\), \(|AE|=4\), albo zauważenie odpowiednich trójkątów podobnych, albo zapisanie \(|AE|\cdot|CE|=|BE|\cdot|DE|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** własności kątów wpisanych i średnicy okręgu, podobieństwo trójkątów, twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie o odcinkach siecznych. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
