Trójkąty
Zadanie 15, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Okrąg \(o_1\) o środku w punkcie \(S_1\) jest określony równaniem
\[(x-6)^2+(y+1)^2=16.\]
Okrąg \(o_2\) ma środek w punkcie \(S_2\) takim, że \(\overrightarrow{S_1S_2}=[-4,4]\). Promienie tych okręgów są sobie równe.
Figura \(F\) składa się z dwóch okręgów: \(o_1\) oraz \(o_2\). Punkty \(M\) i \(N\) są punktami przecięcia figury \(F\) z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
**Wyznacz punkt \(K\), leżący na jednej z osi symetrii figury \(F\), taki, że pole trójkąta \(MNK\) jest równe \(40\).**
Odpowiedź
\[K_1=(-6,11)\qquad\text{lub}\qquad K_2=(14,-9).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z równania okręgu \(o_1\) odczytujemy \(S_1=(6,-1)\). Ponieważ \(\overrightarrow{S_1S_2}=[-4,4]\), mamy
\[S_2=(2,3).\]
Prosta przechodząca przez oba środki jest osią symetrii o równaniu
\[y=-x+5.\]
Druga oś przechodzi przez środek \(S=(4,1)\) odcinka \(S_1S_2\), jest do niego prostopadła i ma równanie
\[y=x-3.\]
To ona ma dodatni współczynnik kierunkowy. Jej punkty przecięcia z okręgiem \(o_1\) spełniają
\[(x-6)^2+(x-2)^2=16,\]
\[2x^2-16x+24=0.\]
Stąd \(x=2\) lub \(x=6\), więc
\[M=(2,-1),\qquad N=(6,3).\]
Punkt \(K\) leży na drugiej osi symetrii, zatem
\[K=(x,-x+5).\]
Korzystamy ze wzoru wyznacznikowego na pole trójkąta:
\[\frac12\left|(6-2)(-x+5+1)-(3+1)(x-2)\right|=40,\]
\[\frac12|-8x+32|=40.\]
Otrzymujemy \(x=-6\) albo \(x=14\). Odpowiadające punkty to
\[K_1=(-6,11),\qquad K_2=(14,-9).\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawne wykonanie obu etapów i oba punkty \(K_1=(-6,11)\), \(K_2=(14,-9)\)
**I etap: 4 pkt** – wyznaczenie \(M=(2,-1)\) i \(N=(6,3)\)
**3 pkt** – zapisanie równania prowadzącego do ich współrzędnych, np. \((x-6)^2+(x-2)^2-16=0\)
**2 pkt** – wyznaczenie osi \(y=x-3\)
**1 pkt** – obliczenie \(S_2=(2,3)\)
**II etap: 3 pkt** – obliczenie obu punktów \(K\)
**2 pkt** – zapisanie równania pola z jedną niewiadomą, np. \(\frac12|-8x+32|=40\)
**1 pkt** – zapisanie \(K=(x,-x+5)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** geometria analityczna okręgu i prostej, osie symetrii, współrzędne punktów przecięcia oraz pole trójkąta obliczane ze współrzędnych. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
