Zadanie 7 – matura z matematyki, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{0,\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.\]

Korzystamy z tożsamości \[\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x.\] Równanie przyjmuje postać \[3\sin x-4\sin^3x=2\sin x,\] \[\sin x\left(1-4\sin^2x\right)=0.\] Stąd \[\sin x=0\quad\text{lub}\quad \sin x=\frac12\quad\text{lub}\quad\sin x=-\frac12.\] W przedziale \([0,\pi]\) równanie \(\sin x=-\frac12\) nie ma rozwiązań. Pozostałe równania dają \[x=0,\quad x=\pi,\quad x=\frac\pi6,\quad x=\frac{5\pi}{6}.\] Zatem \[x\in\left\{0,\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.\]

**4 pkt** – poprawne rozwiązanie równania w zbiorze \([0,\pi]\) **3 pkt** – sprowadzenie do alternatywy \(\sin x=\frac12\), \(\sin x=-\frac12\), \(\sin x=0\), odrzucenie równania bez rozwiązań w zadanym przedziale i poprawne rozwiązanie pozostałych **2 pkt** – równoważne przekształcenie do alternatywy \(1-4\sin^2x=0\) lub \(\sin x=0\) **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci zawierającej tylko jedną funkcję trygonometryczną zmiennej \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R5) Zdający korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów oraz na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.