Płatny materiał · sklep
Punkty, odcinki i odległości — sprawdzian, liceum klasa 3
Długość i środek odcinka, symetrie, podział odcinka w stosunku.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Geometria analityczna › Odległość punktu od prostej
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P = (x₀, y₀) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 liczymy wzorem d = |A·x₀ + B·y₀ + C| ÷ √(A² + B²). Jest to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu do prostej — czyli najkrótsza droga między nimi. Wartość bezwzględna w liczniku pilnuje, żeby wynik był nieujemny — dla punktu na prostej wynosi zero. Ten jeden wzór rozstrzyga też, czy prosta jest styczna do okręgu.
Kalkulator: odległość punktu od prostej
1Wzór i co w nim siedzi
Odległość punktu od prostej to nie jest odległość mierzona byle jak. To długość odcinka prostopadłego do prostej, poprowadzonego z danego punktu. Każdy inny odcinek łączący punkt z prostą jest dłuższy — wynika to wprost z twierdzenia Pitagorasa, bo w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna zawsze przewyższa przyprostokątną.
Wzór
Dla punktu P = (x₀, y₀) i prostej Ax + By + C = 0:
d = |A·x₀ + B·y₀ + C| ÷ √(A² + B²)
W liczniku podstawiasz współrzędne punktu do lewej strony równania prostej. W mianowniku siedzą wyłącznie współczynniki A i B — współrzędne punktu nie mają na niego wpływu.
Mianownik √(A² + B²) to długość wektora [A, B], który jest prostopadły do prostej. To on odpowiada za normowanie: bez niego wynik zależałby od tego, czy równanie zapiszemy jako 2x + 3y − 6 = 0, czy jako 4x + 6y − 12 = 0. A przecież to ta sama prosta i odległość musi wyjść identyczna.
2Skąd bierze się wartość bezwzględna
Wyrażenie A·x₀ + B·y₀ + C przyjmuje wartość dodatnią po jednej stronie prostej, a ujemną po drugiej. Na samej prostej wynosi zero — to zresztą definicja prostej. Odległość jest długością, a długość nie bywa ujemna, więc wartość bezwzględna po prostu zdejmuje znak.
Znak też coś mówi
Jeśli dla dwóch punktów wyrażenie A·x + B·y + C wychodzi z tym samym znakiem, punkty leżą po tej samej stronie prostej. Przy przeciwnych znakach — po przeciwnych. To bywa szybszym sposobem sprawdzenia niż rysowanie.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Geometria analityczna” (liceum, klasa 3), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Geometria analityczna”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł23,40 zł−11,50 złLiceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Najpierw postać ogólna — bez tego ani kroku
Wzór działa wyłącznie dla równania w postaci ogólnej, czyli Ax + By + C = 0 z zerem po prawej stronie. Zadania podają prostą najczęściej w postaci kierunkowej y = ax + b i to jest miejsce, w którym najwięcej osób się potyka.
Zamiana y = ax + b na postać ogólną
Przenieś wszystko na lewą stronę: ax − y + b = 0.
Odczytujesz wtedy: A = a, B = −1, C = b. Uwaga na B = −1 — to nie jest 1 i pominięcie minusa nie zmienia mianownika, ale zmienia licznik.
Dwa przypadki szczególne warto mieć w głowie. Prosta pionowa x = c ma postać ogólną x − c = 0, więc A = 1, B = 0 i wzór upraszcza się do d = |x₀ − c|. Prosta pozioma y = c daje analogicznie d = |y₀ − c|. W obu razach wychodzi to, co widać na rysunku — różnica współrzędnych.
4Styczność prostej do okręgu
To najczęstsze zastosowanie tego wzoru na maturze. Mając okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r oraz prostą, liczysz odległość środka od prostej i porównujesz ją z promieniem.
Trzy przypadki
d = r → prosta jest styczna do okręgu, mają dokładnie jeden punkt wspólny.
d < r → prosta przecina okrąg w dwóch punktach (to sieczna).
d > r → prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
Zaletą tej metody jest to, że nie trzeba rozwiązywać układu równań ani liczyć delty. Jedno podstawienie do wzoru i porównanie z promieniem załatwia całe pytanie.
5Odległość dwóch prostych równoległych
Dla dwóch prostych równoległych odległość jest wszędzie taka sama, więc wystarczy wybrać dowolny punkt na pierwszej z nich i policzyć jego odległość od drugiej. Najwygodniej wziąć punkt o ładnych współrzędnych — zwykle ten, w którym prosta przecina oś układu.
6Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Wprost ze wzoru
Oblicz odległość punktu P = (3, −1) od prostej 4x − 3y + 2 = 0.
Odczytujemy A = 4, B = −3, C = 2. Podstawiamy współrzędne punktu do licznika:
4·3 + (−3)·(−1) + 2 = 12 + 3 + 2 = 17
Mianownik: √(4² + (−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Zatem d = |17| ÷ 5 = 3,4.
Przykład 2 Prosta podana w postaci kierunkowej
Oblicz odległość punktu P = (0, 5) od prostej y = 2x − 1.
Najpierw postać ogólna: 2x − y − 1 = 0, czyli A = 2, B = −1, C = −1.
Licznik: 2·0 + (−1)·5 + (−1) = 0 − 5 − 1 = −6, a po wartości bezwzględnej 6.
Mianownik: √(2² + (−1)²) = √5
Zatem d = 6 ÷ √5 = 6√5 ÷ 5 ≈ 2,68. Ujemny licznik nie oznacza błędu — mówi tylko, po której stronie prostej leży punkt.
Przykład 3 Czy prosta jest styczna do okręgu
Sprawdź wzajemne położenie prostej 3x + 4y − 25 = 0 i okręgu o środku S = (0, 0) i promieniu r = 5.
Licznik: 3·0 + 4·0 − 25 = −25, po wartości bezwzględnej 25.
Mianownik: √(3² + 4²) = √25 = 5
Czyli d = 25 ÷ 5 = 5. Ponieważ d = r, prosta jest styczna do okręgu.
7Najczęstsze błędy
Podstawianie do wzoru bez zamiany na postać ogólną
Skąd się bierze: Równanie y = 2x − 1 wygląda na gotowe do użycia, więc do wzoru trafia A = 2, B = 1, C = −1. To jest zły zestaw współczynników i wynik wychodzi inny.
Jak zrobić dobrze: Zawsze najpierw przenieś wszystko na lewą stronę i dopiero z tak zapisanego równania odczytaj A, B i C. Przy postaci kierunkowej B zawsze wynosi −1.
Pominięcie wartości bezwzględnej
Skąd się bierze: Licznik wychodzi ujemny i zostaje przepisany bez zmian. W odpowiedzi pojawia się ujemna odległość, czyli coś, co nie istnieje.
Jak zrobić dobrze: Wynik licznika zawsze bierz w wartość bezwzględną. Jeśli końcowe d wyszło ujemne, to jest sygnał, że o niej zapomniałeś.
Wstawianie współrzędnych punktu do mianownika
Skąd się bierze: Mianownik wygląda jak wzór na długość odcinka, więc trafiają do niego x₀ i y₀. Tymczasem zależy on wyłącznie od nachylenia prostej.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że mianownik √(A² + B²) liczysz raz dla danej prostej — dla każdego punktu będzie taki sam.
Liczenie odległości dowolnego punktu okręgu zamiast środka
Skąd się bierze: W zadaniu o styczności pojawia się okrąg, więc do wzoru trafia punkt leżący na nim. Porównanie z promieniem traci wtedy sens.
Jak zrobić dobrze: Do wzoru podstawiasz środek okręgu. Promień służy wyłącznie do porównania z otrzymanym wynikiem.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Odległość punktów i środek odcinka — kartkówka, liceum klasa 3
Długość odcinka, środek odcinka, trójkąt w układzie współrzędnych.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.
Karty pracy · sklep
Geometria analityczna, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem
10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: odległość i środek odcinka, symetrie punktów, równanie okręgu, położenie punktu. Na końcu…
9,90 zł
Zobacz w sklepie →8Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na odległość punktu od prostej?
Dla punktu P = (x₀, y₀) i prostej Ax + By + C = 0 odległość wynosi d = |A·x₀ + B·y₀ + C| ÷ √(A² + B²). W liczniku podstawiasz współrzędne punktu do lewej strony równania prostej, w mianowniku występują tylko współczynniki A i B.
Dlaczego we wzorze jest wartość bezwzględna?
Wyrażenie A·x₀ + B·y₀ + C jest dodatnie po jednej stronie prostej, a ujemne po drugiej. Odległość nie może być ujemna, więc wartość bezwzględna usuwa znak. Sam znak też niesie informację — mówi, po której stronie prostej leży punkt.
Jak zamienić równanie kierunkowe na ogólne?
Z postaci y = ax + b przenieś wszystko na jedną stronę: ax − y + b = 0. Wtedy A = a, B = −1, C = b. Bez tej zamiany wzoru na odległość nie da się zastosować.
Jak sprawdzić, czy prosta jest styczna do okręgu?
Policz odległość środka okręgu od prostej i porównaj ją z promieniem. Gdy d = r, prosta jest styczna. Gdy d < r, przecina okrąg w dwóch punktach. Gdy d > r, nie ma punktów wspólnych.
Jak obliczyć odległość między dwiema prostymi równoległymi?
Wybierz dowolny punkt na pierwszej prostej i policz jego odległość od drugiej. Proste równoległe dzieli wszędzie ta sama odległość, więc wynik nie zależy od wyboru punktu.
Czy wzór działa dla prostej pionowej?
Tak. Prosta x = c ma postać ogólną x − c = 0, czyli A = 1, B = 0, C = −c. Wzór upraszcza się wtedy do d = |x₀ − c|, czyli do zwykłej różnicy współrzędnych.
Czytaj dalej
Proste równoległe i prostopadłeDlaczego odległość mierzy się odcinkiem prostopadłymOkrąg i kołoŚrodek i promień, czyli dane potrzebne do badania stycznościGeometria analitycznaCały dział: punkty, proste, okręgi w układzie współrzędnychUkład współrzędnychPodstawa, na której stoi cały ten wzór
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.