Symetralna odcinka w układzie współrzędnych i w figurach

\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy), potem wyznaczamy \(C\) z układu: dana prosta oraz symetralna podstawy \(AB\). **Krok \(2\).** Sprawdzamy: dla \(A=(1,-1)\) mamy \(1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0\), a dla \(B=(4,0)\) mamy \(4+0-4=0\). Zatem prosta \(x+2y-4=0\) zawiera ramię \(BC\), a więc leży na niej punkt \(C\). **Krok \(3\).** Z warunku \(|CA|=|CB|\) punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Zapisujemy \(|CA|^{2}=|CB|^{2}\) dla \(C=(x,y)\): \[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\] \[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\qquad 6x+2y-14=0,\qquad 3x+y=7.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \(x+2y=4\) oraz \(3x+y=7\). Z drugiego równania \(y=7-3x\), więc \(x+14-6x=4\), skąd \(x=2\) i \(y=1\). Zatem \(C=(2,1)\). **Krok \(5\).** Punkt \(M\) leży na odcinku \(AC\) i \(|AM|:|MC|=1:4\), więc \(|AM|=\frac{1}{5}|AC|\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\). **Krok \(6\).** Obliczamy współrzędne: \[M=\left(1+\frac{1}{5}(2-1),\ -1+\frac{1}{5}\bigl(1-(-1)\bigr)\right)=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right).\] **Krok \(7\).** Kwadrat promienia to kwadrat odległości \(M\) od \(C\): \[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Stosunek \(1:4\) oznacza podział odcinka na \(5\) równych części, więc mnożnik wektora wynosi \(\frac{1}{5}\), a nie \(\frac{1}{4}\) — to najczęstsze potknięcie w tym zadaniu. **Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\), \(6\left(4-2y_{C}\right)+2y_{C}-14=0\) ALBO – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\) ALBO – zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_{C},-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)\), ALBO – wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie. b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz \(1\) punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca). **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\). **2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) ALBO – wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\), ALBO – wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\). **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R3) Zdający zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie; IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.

\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię trójkąta leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy). Potem wyznaczamy \(C\) z warunku \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\), następnie \(M\) ze stosunku podziału, a na końcu promień okręgu. **Krok \(2\).** Sprawdzamy oba wierzchołki: \[A=(1,-1)\colon\ 1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0,\qquad B=(4,0)\colon\ 4+2\cdot 0-4=0.\] Na prostej \(x+2y-4=0\) leży zatem punkt \(B\), więc to ramię \(BC\) zawiera się w tej prostej. **Krok \(3\).** Zapisujemy współrzędne \(C\) w zależności od jednej zmiennej. Z równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\), więc \[C=\left(x,\ 2-\frac{x}{2}\right).\] **Krok \(4\).** Warunek \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\) zapisujemy jako równość kwadratów odległości: \[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\] \[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\] \[6x+2y-14=0,\qquad\text{czyli}\qquad 3x+y-7=0.\] Jest to równanie symetralnej odcinka \(AB\). **Krok \(5\).** Podstawiamy \(y=2-\frac{x}{2}\): \[3x+2-\frac{x}{2}-7=0,\qquad \frac{5}{2}x=5,\qquad x=2,\qquad y=1.\] Zatem \(C=(2,1)\). **Krok \(6\).** Z warunku \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=1:4\) wynika \(\lvert AM\rvert=\frac{1}{5}\lvert AC\rvert\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\). Ponieważ \(\overrightarrow{AC}=[2-1,\ 1-(-1)]=[1,2]\), mamy \[M=\left(1+\frac{1}{5},\ -1+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\ -\frac{3}{5}\right).\] **Krok \(7\).** Promień okręgu to odległość \(\lvert MC\rvert\): \[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}.\] **Krok \(8\).** Zapisujemy równanie okręgu o środku \(M\) i promieniu \(r\): \[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Pułapką jest założenie, że to ramię \(AC\) leży na danej prostej. Sprawdzenie z kroku \(2\) rozstrzyga to jednoznacznie: warunek spełnia tylko punkt \(B\). **Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\) ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_C,-\frac{1}{2}x_C+2\right)\), ALBO wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\), \(6(4-2y_C)+2y_C-14=0\) ALBO wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca). **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\). **2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) ALBO wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\), ALBO wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. 8.7R) Zdający oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.

**A.** Dwusiecznych kątów trójkąta.

**Krok \(1\).** To pytanie o punkty szczególne trójkąta. Cztery odpowiedzi opisują cztery różne punkty, więc trzeba wiedzieć, która rodzina prostych odpowiada okręgowi **wpisanemu**. Kluczem jest warunek, jaki spełnia jego środek. **Krok \(2\).** Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta, a odległość środka od każdego z tych boków jest równa promieniowi. Środek jest więc **jednakowo oddalony od wszystkich trzech boków**. **Krok \(3\).** Zbiór punktów wewnątrz kąta, jednakowo oddalonych od obu jego ramion, to dwusieczna tego kąta. Punkt równo oddalony od wszystkich boków musi zatem leżeć na dwusiecznej każdego z trzech kątów trójkąta - czyli w punkcie ich przecięcia. **Krok \(4\).** Dla porządku pozostałe odpowiedzi: symetralne boków przecinają się w środku okręgu **opisanego** (punkt równo oddalony od wierzchołków), środkowe w środku ciężkości, a wysokości w ortocentrum. **Uwaga.** Łatwo pomylić okrąg wpisany z opisanym. Zapamiętaj różnicę: wpisany dotyka **boków**, więc liczy się odległość od boków (dwusieczne kątów); opisany przechodzi przez **wierzchołki**, więc liczy się odległość od wierzchołków (symetralne boków). **Odpowiedź.** A: dwusiecznych kątów tego trójkąta

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** VIII.10) Zdający wskazuje środek okręgu wpisanego jako punkt szczególny trójkąta.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\) km. Węzły leżą na symetralnych przeciwległych boków i są oddalone o \(100\sqrt3\) km od każdej z dwóch sąsiednich miejscowości.

Węzły minimalnej sieci można umieścić na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\). Niech ich odległości od tych boków wynoszą \(x\) i \(y\). Długość sieci ma postać \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Dla \(f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x\) mamy \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\); analogicznie \(y=50\sqrt3\). Wtedy \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), więc \[d_{\min}=300\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\text{ km}.\] Każdy węzeł jest oddalony od dwóch sąsiednich miast o \(100\sqrt3\) km.

**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja węzłów. **5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci. **4 pkt** – obliczenie minimum funkcji \(f\). **3 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'\). **2 pkt** – zapisanie długości sieci w zależności od \(x\) i \(y\). **1 pkt** – uzasadnienie położenia węzłów na symetralnych. **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. 4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej; 5R) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; 6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[C=(24,0),\qquad D=\left(\frac{11}4,0\right),\qquad P_{ACD}=\frac{595}8.\]

Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a=\frac{3-7}{12-(-4)}=-\frac14,\] więc \(y=-\frac14x+b\), a z warunku \(7=-\frac14\cdot(-4)+b\) otrzymujemy \(b=6\) i \(AB:\ y=-\frac14x+6\). Dla \(y=0\) mamy \(x=24\), czyli \(C=(24,0)\). Środek odcinka \(AB\) to \(M=(4,5)\). Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(4\): \[y-5=4(x-4),\qquad\text{czyli}\qquad y=4x-11.\] Dla \(y=0\) otrzymujemy \(x=\frac{11}4\), czyli \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\). Bok \(CD\) leży na osi \(Ox\), a wysokością trójkąta \(ACD\) opuszczoną na ten bok jest odległość punktu \(A\) od osi \(Ox\), równa \(7\): \[|CD|=24-\frac{11}4=\frac{85}4,\qquad P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{85}4\cdot7=\frac{595}8.\] **Odpowiedź.** \(C=(24,0)\), \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\), \(P_{ACD}=\frac{595}8\)

1 pkt: istotny poprawny etap, np. C = (24, 0), M = (4, 5) albo współczynnik kierunkowy AB równy −1/4. 2 pkt: C = (24, 0) i kolejny poprawny etap prowadzący do D albo równanie symetralnej y = 4x − 11. 3 pkt: C = (24, 0) i równanie symetralnej y = 4x − 11 albo D = (11/4, 0). 4 pkt: poprawne współrzędne C = (24, 0) oraz D = (11/4, 0). 5 pkt: poprawna metoda i wyniki C = (24, 0), D = (11/4, 0), P△ACD = 595/8.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 8.1) Wyznacza równanie prostej przez dwa punkty; 8.3) wyznacza prostą prostopadłą; 8.4) oblicza punkt przecięcia prostych; 8.6) oblicza odległość punktów.

\[C=(\sqrt5-1,\ 3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,\ -3\sqrt5+3).\]

Z warunku \(|AC|=|BC|\) wynika, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a_{AB}=\frac{8-4}{-6-6}=-\frac13,\] więc symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\). Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{6+(-6)}2,\frac{4+8}2\right)=(0,6).\] Równanie symetralnej jest zatem równe \[y=3x+6.\] Punkty \(C\) są punktami przecięcia tej prostej z okręgiem: \[(x+1)^2+(3x+6-3)^2=50,\] \[(x+1)^2+9(x+1)^2=50,\] \[10(x+1)^2=50,\qquad (x+1)^2=5.\] Stąd \[x=\sqrt5-1\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5-1.\] Dla \(x=\sqrt5-1\): \[y=3(\sqrt5-1)+6=3\sqrt5+3.\] Dla \(x=-\sqrt5-1\): \[y=3(-\sqrt5-1)+6=-3\sqrt5+3.\] Ostatecznie \[C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3).\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie obu punktów: \(C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\) lub \(C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3)\) **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, na przykład \((x+1)^2+(3x+6-3)^2=50\) **2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=3x+6\) **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\): \(-\frac13\); albo zapisanie równania odległości \(\sqrt{(x-6)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x+6)^2+(y-8)^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R1) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu. IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad |AP|=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\] Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie \[y-5=\frac43(x-6),\] czyli \[y=\frac43x-3.\] Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Stąd \[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\] a więc \[P=\left(\frac94,0\right).\] Długość odcinka \(AP\) jest równa \[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

**4 pkt** – poprawna metoda oraz oba wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\), \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\) **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P=\left(\frac94,0\right)\) **2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo równoważnego warunku wyznaczającego punkt \(P\) **1 pkt** – zapisanie \(M=(6,5)\), wyznaczenie \(a_{AB}=-\frac34\), zapisanie równania prostej \(AB\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych. IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach. IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad L=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\] Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie \[y-5=\frac43(x-6),\] czyli \[y=\frac43x-3.\] Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Otrzymujemy \[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\] a więc \[P=\left(\frac94,0\right).\] Obliczamy długość boku \(AB\): \[|AB|=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10.\] Ponieważ \(P\) leży na symetralnej odcinka \(AB\), mamy \(|AP|=|BP|\). Ponadto \[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\] Obwód trójkąta \(ABP\) jest więc równy \[L=|AB|+|AP|+|BP|=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]

**5 pkt** – poprawna metoda oraz oba poprawne wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\) i \(L=10+\frac{5\sqrt{41}}2\) **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P\) oraz długości jednego z boków trójkąta: \(|AB|=10\) lub \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\) **3 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) oraz wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo obliczenie \(P=\left(\frac94,0\right)\) **2 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) i wykonanie jednego istotnego kroku, np. wyznaczenie \(M=(6,5)\), współczynnika \(a_{AB}=-\frac34\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\) **1 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) albo wykonanie jednego z wymienionych wyżej istotnych kroków **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt. 8.4) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na symetralnych odpowiednio boków \(AD\) i \(BC\), w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od tych boków; każdy jest oddalony o \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch najbliższych miast.

W optymalnej konfiguracji lewy węzeł \(K\) leży na symetralnej \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej \(BC\). Oznaczmy ich odległości od odpowiednich boków przez \(x\) i \(y\). Długość sieci wynosi \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Wystarczy zminimalizować funkcję \[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\] Jej pochodna to \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \[4x^2=x^2+150^2,\qquad x=50\sqrt3.\] Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc jest to minimum. Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Ponieważ \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), otrzymujemy \[d_{\min}=2\cdot150\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\] Odległość każdego węzła od dwóch przypisanych mu miast wynosi \[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]

**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja obu węzłów **5 pkt** – obliczenie długości \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\) **4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) **3 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(f'\) **2 pkt** – wyrażenie długości sieci przez odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\) **1 pkt** – uzasadnienie, że węzły leżą na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

\(D=(-6,3)\)

Prosta \(BC\) ma współczynnik kierunkowy \[a_{BC}=\frac{7-2}{6-(-9)}=\frac13,\] więc jej równanie to \[y=\frac13x+5.\] Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[S=\left(\frac{\frac{22}{5}+6}{2},\frac{-\frac{21}{5}+7}{2}\right)=\left(\frac{26}{5},\frac75\right).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \(7\), zatem współczynnik kierunkowy jej symetralnej wynosi \(-\frac17\). Symetralna przechodzi przez \(S\), więc ma równanie \[y=-\frac17x+\frac{15}{7}.\] Punkt \(D\) jest przecięciem tej prostej z \(BC\). Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=-\frac17x+\frac{15}{7},\\ y=\frac13x+5.\end{cases}\] Otrzymujemy \(x=-6\) i \(y=3\), czyli \[D=(-6,3).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(D=(-6,3)\) **4 pkt** – wyznaczenie obu równań: \(y=\frac13x+5\) oraz \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\), albo równoważna poprawna realizacja metodą twierdzenia Pitagorasa wskazana w kluczu **3 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\); klucz dopuszcza także wskazane równoważne zestawy istotnych kroków **2 pkt** – spełnienie dwóch z trzech kryteriów za 1 punkt albo obliczenie współczynnika kierunkowego symetralnej \(-\frac17\) **1 pkt** – wyznaczenie równania \(BC\): \(y=\frac13x+5\), współczynnika kierunkowego \(AB\): \(7\), albo środka \(S=\left(\frac{26}{5},\frac75\right)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równania prostych, warunek prostopadłości, symetralna odcinka i punkt przecięcia prostych.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na wspólnej osi symetrii kwadratu: każdy w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku oraz \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch sąsiednich miast.

Symetryzacja pokazuje, że lewy węzeł \(K\) musi leżeć na symetralnej odcinka \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej odcinka \(BC\). Niech \(x\) i \(y\) oznaczają ich odległości odpowiednio od prostych \(AD\) i \(BC\). Długość sieci jest równa \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Wprowadzamy \[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\] Wtedy \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\). Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc przyjmuje tam minimum równe \(150\sqrt3\). Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Zatem \[d_{\min}=f(x)+f(y)+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\] Każdy węzeł leży na poziomej osi symetrii kwadratu, w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku. Jego odległość od obu przyległych miast wynosi \[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]

**6 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów względem miast **5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami **4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) **3 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) **2 pkt** – wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\) **1 pkt** – uzasadnienie, że węzły muszą znajdować się na symetralnych odcinków \(AD\) i \(BC\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]

Ponieważ \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \[\frac{1+x_B}{2}=5,\qquad\frac{-3+y_B}{2}=-1.\] Stąd \(B=(9,1)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) oznacza, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\] więc symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez \(S\): \[y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9.\] Punkt \(C\) leży również na prostej \(y=x+10\), zatem \[-2x+9=x+10.\] Stąd \(x_C=-\frac13\) oraz \[y_C=x_C+10=\frac{29}{3}.\] Ostatecznie \[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i oba wyniki: \(B=(9,1)\), \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\) **4 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do punktu \(C\), albo poprawne wyznaczenie punktu \(C\) bez poprawnego punktu \(B\) **3 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i równania symetralnej \(y=-2(x-5)-1\), albo równania odległości wynikającego z \(|AC|=|BC|\) **2 pkt** – spełnienie dwóch spośród warunków: wyznaczenie \(B=(9,1)\), obliczenie \(a_{AB}=\frac12\), zapisanie \(C=(x,x+10)\) **1 pkt** – spełnienie jednego z powyższych trzech warunków **0 pkt** – brak poprawnego postępu **Uwaga CKE:** błędny współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \(AB\) i konsekwentne dokończenie rozwiązania pozwala uzyskać najwyżej \(2\) pkt.

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1, 8.3 i 8.4 wyznaczanie równania prostej przez dwa punkty, równania prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej oraz współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych.

\[C=(0,27),\qquad L=50+9\sqrt{10}.\]

Ponieważ punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), zapisujemy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) możemy podnieść stronami do kwadratu: \[(0+20)^2+(y-12)^2=(0-7)^2+(y-3)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9,\] \[-18y=-486,\qquad y=27.\] Zatem \(C=(0,27)\). Obliczamy długości boków: \[|AC|=|BC|=\sqrt{20^2+15^2}=25,\] \[|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}.\] Obwód trójkąta jest równy \[L=|AC|+|BC|+|AB|=50+9\sqrt{10}.\]

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(C=(0,27)\) oraz obwodu \(L=50+9\sqrt{10}\) **4 pkt** – poprawne wyznaczenie punktu \(C\) oraz długości \(|AB|=9\sqrt{10}\) lub \(|BC|=25\) **3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wyznaczenie \(C=(0,27)\) **2 pkt** – zapisanie równania symetralnej \(y=3x+27\), równania z warunku \(|AC|=|BC|\) wraz z \(C=(0,y)\) albo równoważnego układu równań **1 pkt** – wykonanie istotnego kroku, np. przyjęcie \(C=(0,y)\), zapisanie warunku \(|AC|=|BC|\), wyznaczenie równania prostej \(AB\), środka odcinka \(AB\) albo obliczenie \(|AB|=9\sqrt{10}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1, 8.3, 8.4 i 8.6 wyznaczanie równań prostych, prostych prostopadłych, punktu przecięcia prostych oraz odległości dwóch punktów.

AD jest dwusieczną: równe cięciwy DB i DC wyznaczają równe łuki, więc ∠BAD=∠DAC

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) — leży on na średnicy \(AB\), a więc w jej środku. Symetralna cięciwy \(BC\) przechodzi przez środek okręgu, zatem prosta \(SD\) jest symetralną \(BC\). Symetria względem tej prostej przeprowadza okrąg na siebie i zamienia miejscami punkty \(B\) i \(C\), więc punkt \(D\) — leżący na osi symetrii i na okręgu — jest środkiem łuku \(BC\). Wobec tego \[\lvert BD\rvert=\lvert CD\rvert.\] Kąty wpisane oparte na równych cięciwach (a więc i na równych łukach) mają równe miary, zatem \[\lvert\angle BAD\rvert=\lvert\angle DAC\rvert,\] czyli półprosta \(AD\) dzieli kąt \(CAB\) na dwa kąty równe — jest jego dwusieczną, co należało wykazać. **Odpowiedź.** Odcinek \(AD\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(CAB\).

1 pkt: wykazanie równości łuków BD i CD, równoległości AC i SD albo równych kątów pomocniczych. 2 pkt: pełny dowód.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.

\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right).\]

Prosta \(PQ\) jest prostopadła do symetralnej, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac12\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(4,5)\), ma równanie \[y=\frac12x+3.\] Punkt przecięcia tej prostej z symetralną jest środkiem \(S\) odcinka \(PQ\). Rozwiązujemy układ \[y=-2x+7,\qquad y=\frac12x+3.\] Stąd \[-2x+7=\frac12x+3,\qquad x=\frac85,\qquad y=\frac{19}{5}.\] Zatem \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy \[\frac{4+x_Q}{2}=\frac85,\qquad \frac{5+y_Q}{2}=\frac{19}{5}.\] Stąd \[x_Q=-\frac45,\qquad y_Q=\frac{13}{5},\] czyli \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\).

**5 pkt** – obliczenie i zapisanie \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\) **4 pkt** – rozwiązanie doprowadzone do końca z drobną usterką rachunkową lub w przepisaniu **3 pkt** – zapisanie równań pozwalających obliczyć obie współrzędne punktu \(Q\) albo jednego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do współrzędnej \(Q\) **2 pkt** – obliczenie środka \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\) albo równoważny istotny postęp określony w kluczu CKE **1 pkt** – wyznaczenie prostej \(PQ\): \(y=\frac12x+3\), albo inny konieczny krok wskazany w kluczu CKE **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oraz środek odcinka.

\[B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\]

Symetralna odcinka \(AB\) jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek. Ponieważ symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\), prosta \(AB\) ma współczynnik \(-\frac13\) i przechodzi przez \(A=(-18,10)\): \[AB:\ y=-\frac13(x+18)+10=-\frac13x+4.\] Środek \(M\) odcinka \(AB\) jest punktem przecięcia obu prostych: \[3x=-\frac13x+4\quad\Longrightarrow\quad \frac{10}3x=4\quad\Longrightarrow\quad x=\frac65,\qquad y=\frac{18}5.\] Z własności środka odcinka \[B=\left(2\cdot\frac65+18,\ 2\cdot\frac{18}5-10\right)=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)

**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej \(y=3x\) i przechodzącej przez punkt \(A=(-18,10)\) **albo** obliczenie odległości punktu \(A\) od tej prostej **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć współrzędną punktu \(B\) **3 pkt** – zapisanie obu równości pozwalających obliczyć współrzędne punktu \(B\) **4 pkt** – obliczenie i zapisanie współrzędnych punktu \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)

**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymaganie szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej — zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt (8.3), oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4) oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.5).

\[A=(0,0),\qquad B=(0,25),\qquad C=(12,9).\]

Odczytujemy punkty styczności: \(P=(0,10)\) leży na osi \(Oy\), a więc na boku \(AB\); pozostałe dwa to \(Q=(8,6)\) oraz \(R=(9,13)\). Środek \(I\) okręgu wpisanego jest jednakowo oddalony od wszystkich punktów styczności, więc leży na symetralnych odcinków \(PQ\) i \(PR\). Ponadto \(IP\perp AB\), a \(AB\) leży na osi \(Oy\), więc \(IP\) jest poziomy i \(I=(r,10)\). Z równości \(\lvert IP\rvert=\lvert IQ\rvert\): \[r^2=(r-8)^2+16,\qquad 16r=80,\qquad r=5,\] czyli \(I=(5,10)\). Sprawdzenie: \(\lvert IR\rvert=\sqrt{4^2+3^2}=5\). Prosta \(AC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\) i ma równanie \[3(x-8)-4(y-6)=0,\qquad 3x-4y=0,\qquad y=\tfrac34x.\] Prosta \(BC\) jest styczna w \(R=(9,13)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IR}=[4,3]\): \[4(x-9)+3(y-13)=0,\qquad 4x+3y-75=0,\qquad y=-\tfrac43x+25.\] Wierzchołki: \[A=AC\cap Oy=(0,0),\qquad B=BC\cap Oy=(0,25),\] \[C:\quad \tfrac34x=-\tfrac43x+25,\qquad x=12,\qquad y=9,\qquad C=(12,9).\] Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=15\), \(\lvert BC\rvert=20\), \(\lvert AB\rvert=25\) oraz \(15^2+20^2=625=25^2\) — trójkąt jest prostokątny, a \(r=\frac{15+20-25}{2}=5\). **Odpowiedź.** \(A=(0,0)\), \(B=(0,25)\), \(C=(12,9)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka okręgu wpisanego \(I=(5,10)\) i promienia \(r=5\). **3–4 pkt** – wyznaczenie równań prostych \(AC\) i \(BC\) jako stycznych prostopadłych do promieni w punktach styczności. **5 pkt** – obliczenie współrzędnych \(A\), \(B\) i \(C\).

Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie równań symetralnych i stycznych do okręgu oraz punktów przecięcia prostych w układzie współrzędnych.

Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC. Z definicji symetrii osiowej dwusieczne są kolejno symetralnymi odcinków KL, LM i MN. Stąd OK=OL, OL=OM oraz OM=ON. Wszystkie wierzchołki K, N, M, L leżą więc na okręgu o środku O.

Niech \(O\) będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta \(ABC\) (środkiem okręgu wpisanego). Symetria osiowa względem prostej zachowuje odległości, a osią symetrii odcinka łączącego punkt z jego obrazem jest oś tej symetrii. Zatem: - dwusieczna kąta \(BAC\) jest symetralną odcinka \(KL\), więc \(\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert\), bo \(O\) leży na tej dwusiecznej; - dwusieczna kąta \(ACB\) jest symetralną odcinka \(LM\), więc \(\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert\); - dwusieczna kąta \(ABC\) jest symetralną odcinka \(MN\), więc \(\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert\). Stąd \[\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert,\] czyli wszystkie cztery punkty \(K\), \(N\), \(M\), \(L\) leżą na jednym okręgu o środku \(O\). Na czworokącie \(KNML\) można zatem opisać okrąg, co należało udowodnić. (Rachunek kątowy prowadzi do tego samego wniosku: oznaczając miary kątów trójkąta przez \(2\alpha\), \(2\beta\), \(2\gamma\), otrzymujemy \(\alpha+\beta+\gamma=90^\circ\), a następnie \(\lvert\angle LKN\rvert+\lvert\angle LMN\rvert=\left(90^\circ+\alpha\right)+\left(90^\circ-\alpha\right)=180^\circ\).) **Odpowiedź.** Na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg o środku w punkcie przecięcia dwusiecznych trójkąta \(ABC\).

**1 pkt** – zauważenie, że dwusieczna kąta trójkąta jest symetralną odpowiedniego odcinka \(KL\), \(LM\) albo \(MN\). **2 pkt** – zapisanie i uzasadnienie co najmniej dwóch równości spośród \(\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert\), \(\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert\), \(\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert\). **3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania.

V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu (R7.1).

\[x^{2}+\left(y-\tfrac13\right)^{2}=\frac{289}{9}.\]

Środek \(S\) okręgu jest równo oddalony od \(A\) i \(B\), leży więc na symetralnej odcinka \(AB\). Środek odcinka \(AB\) to \(\left(-\frac52,\frac92\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[5,3]\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac35\); symetralna ma współczynnik \(-\frac53\): \[y-\tfrac92=-\tfrac53\left(x+\tfrac52\right),\qquad y=-\tfrac53x+\tfrac13.\] Z warunku, że \(S\) leży na prostej \(x-3y+1=0\), czyli \(x=3y-1\), otrzymujemy \[y=-\tfrac53\left(3y-1\right)+\tfrac13=-5y+2,\qquad 6y=2,\qquad y=\tfrac13,\qquad x=0.\] Zatem \(S=\left(0,\frac13\right)\). Promień: \[r^2=\lvert SA\rvert^2=(-5-0)^2+\left(3-\tfrac13\right)^2=25+\frac{64}{9}=\frac{289}{9},\qquad r=\frac{17}{3}.\] Sprawdzenie dla \(B\): \(0^2+\left(6-\frac13\right)^2=\frac{289}{9}\). **Odpowiedź.** \(x^{2}+\left(y-\frac13\right)^{2}=\frac{289}{9}\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\). **3–4 pkt** – wyznaczenie środka \(S=\left(0,\frac13\right)\). **5 pkt** – obliczenie promienia i zapisanie równania okręgu.

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x−a)²+(y−b)²=r², wyznacza współrzędne środka odcinka, równanie prostej równoległej lub prostopadłej, punkt przecięcia prostych oraz odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).

\(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\). Punkt \(D\) jest obrazem \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Ponieważ oś symetrii przechodzi przez środek okręgu, przekątna \(AC\) jest średnicą, więc kąt \(ABC\) jest prosty; prosta \(BC\) o współczynniku \(-\tfrac54\) przecina prostą \(y=x+2\) właśnie w punkcie \(C\).

**Krok \(1\).** Zbierzmy, co daje treść. Prosta \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), jest osią symetrii czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Wynikają z tego dwie rzeczy. Po pierwsze, symetria względem tej prostej zostawia \(A\) i \(C\) na miejscu, a zamienia \(B\) z \(D\) — czyli \(D\) jest obrazem \(B\). Po drugie, oś symetrii figury wpisanej w okrąg jest osią symetrii także tego okręgu, więc przechodzi przez jego środek; zatem \(AC\) jest średnicą, a stąd kąt \(ABC\) jest prosty (kąt oparty na średnicy). **Krok \(2\).** Sprawdzamy, że \(A\) rzeczywiście leży na osi: \(30-32+2=0\). Zgadza się. **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(D\) jako obraz \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Prosta przechodząca przez \(B\) i prostopadła do osi ma współczynnik kierunkowy \(-1\) (bo \(1\cdot(-1)=-1\)): \[y=-x+8.\] **Krok \(4\).** Szukamy punktu \(S\) przecięcia tej prostopadłej z osią symetrii: \[x+2=-x+8\ \Longrightarrow\ 2x=6\ \Longrightarrow\ x=3,\quad y=5,\] czyli \(S=(3,5)\). **Krok \(5\).** Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\), więc ze wzorów na środek odcinka: \[x_D=2\cdot3-0=6,\qquad y_D=2\cdot5-8=2,\] zatem \(D=(6,2)\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do \(C\). Kąt \(ABC\) jest prosty, więc prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AB\). Współczynnik kierunkowy \(AB\): \[a_{AB}=\frac{32-8}{30-0}=\frac{24}{30}=\frac45,\] więc prosta \(BC\) ma współczynnik \(-\dfrac54\) i przechodzi przez \(B=(0,8)\): \[y=-\frac54x+8.\] **Krok \(7\).** Punkt \(C\) leży na przekątnej \(AC\), czyli na osi \(y=x+2\). Rozwiązujemy układ: \[x+2=-\frac54x+8\ \Longrightarrow\ x+\frac54x=6\ \Longrightarrow\ \frac94x=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{8}{3}.\] **Krok \(8\).** Stąd \(y=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3}\), czyli \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie. Środek okręgu to środek średnicy \(AC\), czyli punkt \(\left(\dfrac{49}{3},\dfrac{55}{3}\right)\). Kwadrat jego odległości od \(A\) i od \(B\) wynosi w obu przypadkach \(\dfrac{3362}{9}\), więc punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) rzeczywiście leżą na jednym okręgu. **Uwaga.** Informacja, że \(AC\) jest jedyną osią symetrii, mówi, że czworokąt jest deltoidem, a nie na przykład prostokątem. Dzięki temu wiadomo, że w tej symetrii \(B\) przechodzi na \(D\), a nie na siebie. **Odpowiedź.** \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\).

Zadanie 13. (0-5) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej IV. Użycie i tworzenie danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt, strategii. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.3, 8.4, 8.5). Przykładowe rozwiązanie Zauważamy, że jeżeli AC jest przekątną czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg i pros AC jest osią symetrii tego czworokąta, to ten czworokąt jest deltoidem, a trójkąty AB i ADC są prostokątne. Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołka D , który jest obraze wierzchołka B , w symetrii osiowej względem prostej AC . Ponieważ prosta BD je prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt B , więc jej równanie ma postać Obliczamy współrzędne środka S przekątnej BD. Ponieważ jest to punkt przecięc prostych AC i BD , więc wystarczy rozwiązać układ równań Otrzymujemy stąd x = 3 i y = 5 . Zatem punkt S ma współrzędne Współrzędl punktu D spełniają zatem równania YD+8 2 -5. 2 Stąd wynika, że XI) i YD = 2 czyli D Obliczymy teraz współrzędne wierzchołka C . Zauważamy, że jest to punkt przecięcia prost AC i prostej CD , która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt D 2-32 Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej AD jest równy 5 więc prosta CD n równanie postaci Rozwiązujemy układ równań Zatem C = Schemat punktowania 6-30 i otrzymujemy Y 4 24 42 9 8 14 3 Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części. Pierwsza, to obliczenie współrzędny punktu D, druga, to obliczenie współrzędnych punktu C . Mogą być one wykonał niezależnie od siebie, w dowolnej kolejności. Za pierwszą część rozwiązanła zdają( otrzymuje 2 punkty, a za drugą 3 punkty. Schemat punktowania pierwszej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który wyznaczy równanie prostej BD i zapisze, że punkt przecięcia prostych AC i BD jest środkiem odcinka BD lub wykorzysta ten fakt. 2 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu D Schemat punktowania drugiej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym lub wykorzysta ten fakt 2 punkty przyznajemy zdającemu za wyznaczenie równania prostej CD y— (X-6)+2 3 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu C • Uwaga: Współrzędne punktu C zdający może obliczać inaczej. Poniżej schematy przydziału 3 punktów za obliczenie współrzędnych wierzchołka C. • W przypadku obliczenia w pierwszej kolejności współrzędnych środka okręgu opisanego na danym czworokącie, który jest środkiem odcinka AC. gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą opisujące zależność 1 punkt ISA12 = ISB12 2 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu S, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC. gdy zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny, np. zapisze 1 punkt IAc12 = ABP +lBc12 , 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem symetralnej odcinka AB i środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD. 1 punkt — gdy zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB, 2 punkty gdy zdający wyznaczy współrzędne środka okręgu przechodzącego przez punkty 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem kąta pomiędzy prostymi AD i AB 1 punkt — gdy zdający obliczy tangens kąta DAB, 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem współczynników kierunkowych prostych BC i CD jako tangensów odpowiednich kątów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem iloczynu skalarneś wektorów BC i BA (albo, po wyznaczeniu współrzędnych punktu D, wektorów DA i DC). 1 punkt gdy zdający zapisze, że wektory BC i BA albo DA i DC są prostopadłe h wyznaczy ich współrzędne, 2 punkty — gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą wynikające z zerowania s iloczynu skalarnego wektorów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem równania okrę{ przechodzącego przez punkty A, B, D. 1 punkt gdy zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego możl obliczyć współczynniki w równaniu okręgu, 2 punkty — gdy zdający wyznaczy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABD, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen cosinusów. 1 punkt gdy zdający wyznaczy cosinus kąta BAD, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD i zapisze równan z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen o wysokości w trójkącie prostokątnym ABC (albo, po wyznaczeniu współrzędny punktu D, w trójkącie ACD). 1 punkt gdy zdający wyznaczy długości odcinków AS i BS, lub AS i DS, gdzie S je spodkiem wysokości trójkąta należącym do boku AC, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątny i zapisze równanie z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej, oblicza punkt przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza środek odcinka (8.3, 8.4, 8.5).

C=(\(6\),\(12\)). Wierzchołek C leży na symetralnej podstawy AB, która ma równanie \(11x\)−\(5y\)−\(6=0\). Prosta BC jest prostopadła do wysokości \(2x\)+\(19y\)+\(52=0\) i przechodzi przez B=(\(4\),−\(7\)), więc ma równanie −\(19x\)+\(2y\)+\(90=0\). Rozwiązanie układu tych równań daje C.

Wysokość opuszczona z \(A\) jest prostopadła do boku \(BC\), więc wektor normalny prostej \(2x+19y+52=0\), czyli \([2,19]\), jest wektorem kierunkowym prostej \(BC\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(4,-7)\): \[19(x-4)-2(y+7)=0,\qquad 19x-2y-90=0.\] Trójkąt jest równoramienny z \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Środek \(AB\) to \(\left(-\frac32,-\frac92\right)\), a \(\vec{AB}=[11,-5]\), zatem symetralna ma równanie \[11\left(x+\tfrac32\right)-5\left(y+\tfrac92\right)=0,\qquad 11x-5y-6=0.\] Rozwiązujemy układ: \[\begin{cases}19x-2y-90=0\\ 11x-5y-6=0\end{cases}\] Z pierwszego równania \(y=\frac{19x-90}{2}\); po podstawieniu \[11x-\frac{5(19x-90)}{2}-6=0,\qquad 22x-95x+450-12=0,\qquad -73x=-438,\qquad x=6,\] skąd \(y=\frac{114-90}{2}=12\). Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{13^2+14^2}=\sqrt{365}\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{2^2+19^2}=\sqrt{365}\). **Odpowiedź.** \(C=(6,12)\)

**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) prostopadłej do danej wysokości. **2–4 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) i zapisanie układu równań. **5 pkt** – obliczenie \(C=(6,12)\).

Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie symetralnej odcinka i prostej prostopadłej oraz punktu przecięcia prostych w układzie współrzędnych.

**C.** \(a=-2\)

Symetralna odcinka jest do niego prostopadła. Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a_{AB}=\frac{4-2}{1-(-3)}=\frac12,\] więc z warunku prostopadłości \[a\cdot\frac12=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-2.\] **Odpowiedź.** \(a=-2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[C=\left(0,-\frac53\right).\]

Ponieważ \(C\) leży na osi \(Oy\), przyjmijmy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) daje równość kwadratów odległości: \[(0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4,\] czyli \(-12y=20\), a więc \(y=-\frac53\).

**1 pkt** – przyjęcie \(C=(0,y)\) i zapisanie odległości od \(A\) oraz \(B\) **2 pkt** – ułożenie równania wynikającego z \(|AC|=|BC|\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla \(y\) **4 pkt** – podanie \(C=(0,-\frac53)\)

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów i symetralna odcinka.

\[y=-3x+16.\]

Mamy \(|AB|^2=8^2+(-4)^2=80\) oraz \(|BC|^2=4^2+8^2=80\), więc trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AC\). Oś symetrii przechodzi przez \(B\) i środek podstawy \[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4).\] Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[m=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3.\] Zatem \(y+2=-3(x-6)\), czyli \(y=-3x+16\).

**4 pkt** – poprawne równanie osi \(y=-3x+16\) **3 pkt** – wyznaczenie środka \(M=(4,4)\) i współczynnika kierunkowego \(-3\), lecz brak poprawnego równania końcowego **2 pkt** – wyznaczenie środka odcinka \(AC\) i wskazanie osi jako prostej \(BM\) **1 pkt** – poprawne rozpoznanie, że oś symetrii jest symetralną boku \(AC\), lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów, środek odcinka i równanie prostej.

Końcami odcinka są punkty \[A=(2,0),\qquad B=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right)\] (w dowolnej kolejności).

Prosta zawierająca symetralną jest prostopadła do prostej \(AB\), więc ma współczynnik kierunkowy \(-\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(0,6)\), jej równanie jest równe \[y=-\frac43x+6.\] Punkt przecięcia tej prostej z prostą zawierającą \(AB\) jest środkiem \(S\) odcinka. Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=\frac34x-\frac32,\\y=-\frac43x+6.\end{cases}\] Otrzymujemy \[S=\left(\frac{18}{5},\frac65\right).\] Wektor kierunkowy prostej \(AB\) może mieć postać \((4,3)\), a jego długość wynosi \(5\). Połowa odcinka \(AB\) ma długość \(2\), więc wektor od środka do końca odcinka jest równy \[\frac25(4,3)=\left(\frac85,\frac65\right).\] Stąd końce odcinka to \[S-\left(\frac85,\frac65\right)=(2,0)\] oraz \[S+\left(\frac85,\frac65\right)=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right).\]

**6 pkt** – poprawne współrzędne obu końców odcinka **5 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia końców z pojedynczą usterką rachunkową albo równania liniowe prowadzące bezpośrednio do obu punktów **4 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S\) i równania odległości końca od środka **3 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S=(\frac{18}{5},\frac65)\) i wykorzystanie warunku \(|AS|=|BS|=2\) **2 pkt** – poprawne równanie symetralnej oraz układ wyznaczający środek odcinka **1 pkt** – poprawne równanie symetralnej \(y=-\frac43x+6\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wyznacza równania prostych prostopadłych, współrzędne punktu przecięcia oraz punkty w zadanej odległości na prostej.

\[C=\left(1-\sqrt5,\ 3+\sqrt5\right)\quad\text{albo}\quad C=\left(1+\sqrt5,\ 3-\sqrt5\right).\]

Sprawdzamy najpierw, że \(A\) i \(B\) rzeczywiście leżą na okręgu: \[(2-1)^2+(0-3)^2=10,\qquad (4-1)^2+(2-3)^2=10.\] Trójkąt \(ABC\) ma być równoramienny o podstawie \(AB\), czyli \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\). Punkt \(C\) leży zatem na symetralnej odcinka \(AB\). Środek \(AB\) to \(\left(3,1\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[2,2]\) ma współczynnik kierunkowy \(1\), więc symetralna ma współczynnik \(-1\): \[y-1=-\left(x-3\right),\qquad y=-x+4.\] Szukamy punktów wspólnych symetralnej i okręgu: \[(x-1)^2+\left(-x+4-3\right)^2=10,\qquad (x-1)^2+(1-x)^2=10,\] \[2(x-1)^2=10,\qquad (x-1)^2=5,\qquad x=1\pm\sqrt5,\] a stąd \(y=4-x=3\mp\sqrt5\). Oba punkty są różne od \(A\) i \(B\), więc oba spełniają warunki zadania. **Odpowiedź.** \(C=\left(1-\sqrt5,3+\sqrt5\right)\) albo \(C=\left(1+\sqrt5,3-\sqrt5\right)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\). **3 pkt** – zapisanie i rozwiązanie równania \((x-1)^2=5\). **4 pkt** – podanie obu punktów \(C\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: symetralna odcinka oraz przecięcie prostej z okręgiem.

\[y=-\frac12x+6.\]

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek i jest do niego prostopadła. Środek odcinka: \[S=\left(\frac{-2+2}2,\frac{2+10}2\right)=(0,6).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{10-2}{2-(-2)}=2,\] więc symetralna ma współczynnik \(-\frac12\) i przechodzi przez \((0,6)\): \[y=-\frac12x+6.\] **Odpowiedź.** \(y=-\frac12x+6\)

1 pkt: poprawne wyznaczenie środka S = (0, 6) i współczynnika kierunkowego AB = 2 albo równoważny poprawny etap. 2 pkt: poprawne równanie symetralnej y = −x/2 + 6 lub x + 2y − 12 = 0.

Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e).

\[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\]

Punkt \(B\) leży na prostej \(y=\frac12x\), więc ma postać \(B=\left(t,\frac t2\right)\). Z warunku \(|AC|=|BC|\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\): \[|AC|^{2}=(2-1)^{2}+(1-9)^{2}=65,\]\[|BC|^{2}=(t-1)^{2}+\left(\frac t2-9\right)^{2}=\frac54t^{2}-11t+82.\] Przyrównując, otrzymujemy \(\frac54t^{2}-11t+17=0\), czyli \(5t^{2}-44t+68=0\). Wyróżnik \(\Delta=576\), więc \[t=\frac{44\pm24}{10}\in\left\{2,\ \frac{34}5\right\}.\] Wartość \(t=2\) daje \(B=A\), co odrzucamy. Zatem \[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie wynikające z \(AC=BC\) albo symetralna \(AC\). **4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{34}{5},\,\tfrac{17}{5}\right)\).

Zadanie 32. (0–4) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC  BC oraz A   2,1 i C  1, 9 . 1 Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y  x . Oblicz współrzędne wierzchołka B. 2 Użycie i tworzenie strategii Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwiązania: (odległość) 1 Punkt B leży na prostej o równaniu y  x , więc jego współrzędne można zapisać w postaci 2  1  B  x, x . Obliczamy odległość punktu C od punktu A: AC  65 oraz odległość    2  2  x  punktu C od punktu B: BC   x 12   9 . Ponieważ AC  BC , więc możemy    2  2  x  zapisać równanie z jedną niewiadomą  x 12   9  65 , skąd otrzymujemy    2  5 równanie kwadratowe x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 . Równanie to ma dwa 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 34 rozwiązania x  lub x  2 . Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi 5 do punktu o współrzędnych  2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania  34 17  punkt A, zatem szukany punkt B  , .    5 5  Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt Obliczenie odległości AC: AC  65 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt 2 2  x   x   zapisanie równania  x 12   9  65 lub  x 12   9  65 lub      2   2   2 y 12   y  92  65 albo  1  1 y  x y  x    zapisanie układu równań:  2 lub  2   x 12   y  92  65  x 12   y  92  65   Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 5 Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 4 lub 5 y2  22 y 17  0 . Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  II sposób rozwiązania: (środek odcinka) Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy  22 11  równanie prostej CD: y  2x  11 . Obliczamy współrzędne punktu D  , .    5 5  Wyznaczamy współrzędne punktu B:  x  2 22    2 5  wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:  y 1 11    2 5 albo  x  2 22    2 5  wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:  1  y  x  2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy albo  porównując długości odcinków AD i DB:  2 2 2 2  22   11   22   11     2    1   x     y     5   5   5   5    1 y  x   2  34 17  Otrzymujemy B  , .    5 5  Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Wyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci y  2x  11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt  22 11  Obliczenie współrzędnych punktu D: D  , .    5 5  Uwaga:  y  2x 11  Jeżeli zdający zapisze układ równań:  1 lub analogiczny i popełni błąd y  x   2 rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC: a  8 . Zapisujemy równanie: 1 1 1  8  a 2 2 2  , korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC, 1 4 1 1 a 2 2 28 gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy a : a   (drugie 2 2 2 29 rozwiązanie tego równania a  8 to współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy 2 28 równanie prostej BC: y    x 1  9 , a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 29 1 i prostej AB o równaniu y  x . Rozwiązujemy układ równań: 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy  28   y   x  1  9   29  1  y  x   2  34 17  Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: B  , .    5 5  Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC: 1 1  8  a 2 2 2  1  4 1 1  a 2 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 28 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC: a   . 2 29 Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , jako punktu wspólnego prostych    5 5  1 28 o równaniach y  x oraz y    x 1  9 . 2 29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

a) \((x+2)^{2}+y^{2}=25\); b) \(y=-7x+10\sqrt2\) albo \(y=-7x-10\sqrt2\).

**a)** Środek okręgu leży na osi \(Ox\), więc ma postać \(S=(p,0)\). Z równości promieni \(|SA|=|SB|\): \[(p-1)^{2}+4^{2}=(p+6)^{2}+3^{2}.\] Stąd \(p^{2}-2p+17=p^{2}+12p+45\), czyli \(14p=-28\) i \(p=-2\). Promień: \(r^{2}=(-2-1)^{2}+16=25\), więc \(r=5\), a równanie okręgu to \[(x+2)^{2}+y^{2}=25.\] **b)** Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{3-4}{-6-1}=\frac17,\] więc prosta prostopadła ma współczynnik \(-7\) i równanie \(y=-7x+c\), czyli \(7x+y-c=0\). Odległość początku układu od tej prostej: \[\frac{|7\cdot0+0-c|}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{|c|}{\sqrt{50}}=2,\] skąd \(|c|=2\sqrt{50}=10\sqrt2\). **Odpowiedź.** a) \((x+2)^{2}+y^{2}=25\); b) \(y=-7x+10\sqrt2\) lub \(y=-7x-10\sqrt2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – […] pozwalającego wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np.: \((x-1)^{2}+4^{2}=(x+6)^{2}+3^{2}\). **9.2. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(S\): \(S=(-2,0)\). Jeśli zdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka \(AB\) oraz jej punkt przecięcia z osią \(Ox\), to przyznajemy punkty w czynnościach 9.1 oraz 9.2. **9.3. (1 pkt)** – obliczenie długości promienia okręgu: \(r=5\) i zapisanie równania okręgu: \((x+2)^{2}+y^{2}=25\). **9.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=\frac{1}{7}x+\frac{27}{7}\). Wystarczy, że zdający obliczy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\). **9.5. (1 pkt)** – zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej \(AB\): \(y=-7x+b\). **9.6. (1 pkt)** – wykorzystanie wzoru na odległość punktu \((0,0)\) od prostej o równaniu \(y=-7x+b\) i zapisanie równania: \(\sqrt{2}=\frac{\lvert b\rvert}{5\sqrt{2}}\). **9.7. (1 pkt)** – wyznaczenie równań prostych spełniających warunek zadania: \(y=-7x-10\), \(y=-7x+10\). Wystarczy, że zdający obliczy wartości \(b\), o ile zapisał równanie rodziny prostych \(y=-7x+b\). […] Nie wymagamy rozpatrzenia obu przypadków, ale istotne jest założenie, że […]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Osią symetrii jest prosta \(y=x-1\).

Obliczamy długości boków: \[|AC|=\sqrt{(2+4)^{2}+(1+1)^{2}}=\sqrt{40},\qquad |BC|=\sqrt{(2-0)^{2}+(1+5)^{2}}=\sqrt{40}.\] Zatem \(|AC|=|BC|\), więc podstawą trójkąta równoramiennego jest \(AB\), a osią symetrii — symetralna odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{-5-(-1)}{0-(-4)}=-1,\] więc symetralna ma współczynnik \(1\). Przechodzi przez środek odcinka \(AB\): \[S=\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1-5}{2}\right)=(-2,-3).\] Stąd \(y+3=1\cdot(x+2)\), czyli \(y=x-1\). **Odpowiedź.** \(y=x-1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: \(AC=BC\). […] toku rozumowania wynika, że zdający poprawnie wybrał równe boki trójkąta. **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=-x-5\). Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej \(AB\). **6.3. (1 pkt)** – zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej \(AB\): \(y=x+b\). Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(AB\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: \(y=x-1\). **II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)** **6.1. (1 pkt)** – oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej, np. \(P=(x,y)\) i zapisanie własności \(AP=BP\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinków \(AP\) i \(BP\) i zapisanie równania: \((x+4)^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}+(y+5)^{2}\). **6.3. (1 pkt)** – doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, np. \(8x+2y+17=10y+25\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: \(y=x-1\). **III sposób rozwiązania:** **6.1. (1 pkt)** – zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: \(AC=BC\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(D=(-2,-3)\). **6.3. (1 pkt)** – zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty \(C\) i \(D\) jest osią symetrii trójkąta \(ABC\). Przyznajemy punkt, gdy z toku rozumowania wynika, że zdający stosując tę metodę poprawnie wybrał równe boki trójkąta. **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: \(y=x-1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\). **b)** Kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(45^\circ\), a kąty przy podstawie \(67{,}5^\circ\) każdy.

**a)** Punkty \(A\) i \(B\) leżą jednocześnie na okręgu i na prostej, więc ich współrzędne spełniają układ \[\begin{cases}x^{2}+y^{2}=25\\ y=x-5\end{cases}\] Po podstawieniu \(x^{2}+(x-5)^{2}=25\), czyli \(2x^{2}-10x=0\) i \(x\in\{0,5\}\). Zatem \(A=(0,-5)\) oraz \(B=(5,0)\). Trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Symetralna cięciwy przechodzi przez środek okręgu, czyli przez początek układu, a jest prostopadła do \(AB\), więc ma równanie \(y=-x\). Podstawiając do równania okręgu, otrzymujemy \(2x^{2}=25\), czyli \(x=\pm\frac{5\sqrt2}2\). Warunek, by trójkąt był ostrokątny, spełnia ten punkt, który leży dalej od prostej \(AB\): \[C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right).\] **b)** Kąt środkowy \(AOB\) oparty na cięciwie \(AB\) jest prosty, bo \(\overrightarrow{OA}=[0,-5]\) i \(\overrightarrow{OB}=[5,0]\) są prostopadłe. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest połową kąta środkowego, więc \[|\angle ACB|=45^{\circ}.\] Pozostałe kąty, jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego, mają miarę \[\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}2=67{,}5^{\circ}.\] **Odpowiedź.** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\); kąty trójkąta to \(45^\circ\), \(67{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\): \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\). **11.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=-x\). **11.3. (2 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=\left(\frac{-5\sqrt{2}}{2},\ \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\). **11.4. (1 pkt)** – obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\): \(45^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\). Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(r=2\sqrt5\); środkiem okręgu jest punkt \(S=(-2,3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy własność, która rozwiązuje to zadanie: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Zatem środek okręgu leży na prostej prostopadłej do pierwszej stycznej w punkcie \(A\) i jednocześnie na prostej prostopadłej do drugiej stycznej w punkcie \(B\). Przecięcie tych dwóch prostych to środek, a odległość środka od \(A\) to promień. **Krok \(2\).** Prosta prostopadła do \(y=2x-3\) ma współczynnik kierunkowy \(-\dfrac12\) (bo \(2\cdot\left(-\dfrac12\right)=-1\)) i przechodzi przez \(A=(2,1)\): \[y-1=-\frac12(x-2)\ \Longrightarrow\ y=-\frac12x+2.\] **Krok \(3\).** Prosta prostopadła do \(y=\dfrac12x+9\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\) i przechodzi przez \(B=(-4,7)\): \[y-7=-2\left(x+4\right)\ \Longrightarrow\ y=-2x-1.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy środek \(S\), rozwiązując układ: \[-\frac12x+2=-2x-1.\] Mnożymy obie strony przez \(2\): \[-x+4=-4x-2\ \Longrightarrow\ 3x=-6\ \Longrightarrow\ x=-2.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy: \(y=-2\cdot(-2)-1=3\), zatem \(S=(-2,3)\). **Krok \(6\).** Promień to odległość \(S\) od punktu styczności \(A=(2,1)\): \[r=|SA|=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Kontrola przez drugi punkt styczności: \[|SB|=\sqrt{\left(-4-(-2)\right)^2+(7-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5.\] Obie odległości są równe, co potwierdza, że \(S\) jest środkiem szukanego okręgu. **Uwaga.** Warto sprawdzić, że podane punkty faktycznie leżą na swoich stycznych: \(2\cdot2-3=1\) dla \(A\) oraz \(\dfrac12\cdot(-4)+9=7\) dla \(B\). Bez tego cała konstrukcja nie miałaby sensu. **Odpowiedź.** \(r=2\sqrt5\) (środkiem okręgu jest punkt \(S=(-2,3)\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] stycznej w punkcie styczności. **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(B\) i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\): \(y=-2x-1\). **4.3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=2x-3\): \(y=-\frac{1}{2}x+2\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych \(y=-\frac{1}{2}x+2\) i \(y=-2x-1\), który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych: \(S=(-2,\,3)\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia szukanego okręgu: \(r=SA=SB=2\sqrt{5}\). Jeśli zdający nie zapisał w punkcie 4.1 własności: promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, ale z niej skorzystał w rozwiązaniu, to przyznajemy punkt w czynności 4.1. **II sposób rozwiązania:** **4.1. (1 pkt)** – wykorzystanie własności – środek okręgu leży na symetralnej odcinka \(AB\). Obliczenie współrzędnych punktów \(W\) – przecięcia się danych prostych oraz \(P\) – środka odcinka \(AB\): \(W=(8,\,13)\), \(P=(-1,\,4)\). (rysunek: oś \(y\): \(14,\ 13,\ 12,\ 11,\ 10,\ 9,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1\); oś \(x\): \(-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\); punkty \(W\), \(B\), \(P\), \(S\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(W\) oraz \(P\) (symetralnej odcinka \(AB\)): \(y=x+5\). **4.3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(B\) i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt): \(y=-2x-1\) lub \(y=-\frac{1}{2}x+2\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych środka okręgu: \(S=(-2,\,3)\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia okręgu: \(r=SA=SB=2\sqrt{5}\). **III sposób rozwiązania** **4.1. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(W\) i obliczenie długości odcinków \(AW\) i \(BW\): \(W=(8,\,13)\), \(AW=BW=6\sqrt{5}\) (trójkąt \(AWB\) jest równoramienny). (rysunek: oś \(y\): \(14,\ 13,\ 12,\ 11,\ 10,\ 9,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1\); oś \(x\): \(-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\); punkty \(W\), \(B\), \(P\), \(S\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(P\) (środka odcinka \(AB\)) oraz długości odcinków \(BP\) i \(PW\): \(P=(-1,\,4)\), \(BP=3\sqrt{2}\), \(PW=9\sqrt{2}\). **4.3. (1 pkt)** – stwierdzenie podobieństwa trójkątów \(BWP\) i \(BSP\). **4.4. (1 pkt)** – zapisanie proporcji \(\frac{BS}{BP}=\frac{BW}{PW}\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia okręgu: \(r=AS=BS=2\sqrt{5}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** Symetralna odcinka \(AB\) ma równanie \(y=-3x+6\). **b)** \(C=(7,5)\).

**a)** Środek odcinka \(AB\) o końcach \(A=(-2,2)\) i \(B=(4,4)\) to \[S=\left(\frac{-2+4}2,\frac{2+4}2\right)=(1,3).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \(a_{AB}=\frac{4-2}{4-(-2)}=\frac13\), więc symetralna, jako prosta prostopadła do \(AB\), ma współczynnik \(a=-3\). Przechodzi ona przez \(S=(1,3)\), zatem \[y-3=-3(x-1),\qquad\text{czyli}\qquad y=-3x+6.\] **b)** Prosta \(AB\) ma równanie \(y=\frac13x+\frac83\). Współrzędne punktu \(C\) spełniają układ \[\begin{cases}3x-2y-11=0\\ y=\frac13x+\frac83\end{cases}\] Po podstawieniu: \(3x-2\left(\frac13x+\frac83\right)-11=0\), czyli \(\frac73x=\frac{49}3\), skąd \(x=7\) oraz \(y=\frac73+\frac83=5\). **Odpowiedź.** \(y=-3x+6\) oraz \(C=(7,5)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \((1,3)\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego symetralnej odcinka \(AB\): \(a=-3\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie równania symetralnej: \(y=-3x+6\). **6.5. (1 pkt)** – zapisanie układu równań: \[\begin{cases}3x-2y-11=0\\[2pt] \frac{1}{3}x-y+\frac{8}{3}=0\end{cases}\] **6.6. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(7,5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(B=\left(\frac{38}{5},\frac15\right)\), czyli \(B=(7{,}6;\ 0{,}2)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pojęcie: symetralna odcinka \(BC\) to prosta PROSTOPADŁA do \(BC\), przechodząca przez ŚRODEK tego odcinka. Z tych dwóch własności wynika cały plan: skoro znamy symetralną i punkt \(C\), to prostą \(BC\) wyznaczamy jako prostopadłą do symetralnej przechodzącą przez \(C\); punkt przecięcia obu prostych to środek \(S\) odcinka \(BC\); a znając \(C\) i \(S\), z wzoru na środek odcinka odzyskujemy \(B\). **Krok \(2\).** Symetralna \(y=2x-8\) ma współczynnik kierunkowy \(2\). Prosta \(BC\) jest do niej prostopadła, a warunek prostopadłości prostych to \(a_1\cdot a_2=-1\): \[a\cdot2=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac12.\] **Krok \(3\).** Prosta \(BC\) przechodzi przez \(C=(2,3)\), więc podstawiamy do wzoru \(y=-\tfrac12x+b\): \[3=-\tfrac12\cdot2+b\quad\Longrightarrow\quad 3=-1+b\quad\Longrightarrow\quad b=4.\] Zatem prosta \(BC\) ma równanie \(y=-\tfrac12x+4\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy punkt \(S\) przecięcia prostej \(BC\) z symetralną. Porównujemy prawe strony: \[2x-8=-\tfrac12x+4.\] Mnożymy obie strony przez \(2\): \(4x-16=-x+8\), stąd \(5x=24\), czyli \(x=\dfrac{24}{5}\). Wtedy \[y=2\cdot\frac{24}{5}-8=\frac{48}{5}-\frac{40}{5}=\frac{8}{5}.\] Zatem \(S=\left(\dfrac{24}{5},\dfrac{8}{5}\right)\). **Krok \(5\).** Korzystamy z tego, że \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\). Wzór na środek: \(S=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)\). Zapisujemy dwa równania: \[\frac{x_B+2}{2}=\frac{24}{5},\qquad \frac{y_B+3}{2}=\frac{8}{5}.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy je: \[x_B+2=\frac{48}{5}\ \Longrightarrow\ x_B=\frac{48}{5}-\frac{10}{5}=\frac{38}{5},\] \[y_B+3=\frac{16}{5}\ \Longrightarrow\ y_B=\frac{16}{5}-\frac{15}{5}=\frac{1}{5}.\] Zatem \(B=\left(\dfrac{38}{5},\dfrac{1}{5}\right)=(7{,}6;\ 0{,}2)\). **Uwaga.** Symetralna NIE przechodzi przez punkt \(C\) (gdyby przechodziła, byłaby prostopadła do \(BC\) w jego końcu, a nie w środku) — sprawdźmy: dla \(x=2\) mamy \(y=2\cdot2-8=-4\neq3\). Punktem wspólnym symetralnej i prostej \(BC\) jest środek odcinka, i właśnie dlatego w kroku \(4\) rozwiązujemy układ równań. Nie należy też mylić \(S\) z szukanym \(B\). **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{38}{5},\frac15\right)\), czyli \(B=(7{,}6;\ 0{,}2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 7.** (\(5\) pkt) Dany jest punkt \(C=(2,3)\) i prosta o równaniu \(y=2x-8\) będąca symetralną odcinka \(BC\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\). Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź. […] Poszukiwany punkt \(B=(x,y)\) leży na prostej \(l\), która jest prostopadła do prostej \(y=2x-8\). Wyznaczam współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(l\): \(a=-\frac{1}{2}\). Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \(C=(2,3)\), więc zachodzi równość \(3=-\frac{1}{2}\cdot 2+b\), z której wyznaczam współczynnik \(b\). \(b=4\), więc równanie prostej \(l\) ma postać: \(y=-\frac{1}{2}x+4\). Wyznaczam współrzędne punktu \(S\) będącego punktem przecięcia prostych: \(y=2x-8\) oraz \(y=-\frac{1}{2}x+4\). Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+4\\ y=2x-8\end{cases}\) są liczby: \(x=\frac{24}{5}\), \(y=\frac{8}{5}\). Punkt \(S\) ma więc współrzędne: \(\left(\frac{24}{5},\frac{8}{5}\right)\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\). Zapisuję zależność między współrzędnymi punktu \(S\) i końcami odcinka \(BC\): \(\left(\frac{x+2}{2},\frac{y+3}{2}\right)=\left(\frac{24}{5},\frac{8}{5}\right)\) i rozwiązuję równania: \(\frac{x+2}{2}=\frac{24}{5}\), stąd \(x=\frac{38}{5}\) oraz \(\frac{y+3}{2}=\frac{8}{5}\), stąd \(y=\frac{1}{5}\). Punkt \(B\) ma współrzędne: \(B=\left(\frac{38}{5},\frac{1}{5}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). b) \(AB\parallel DC\) (oba odcinki są poziome) oraz \(|AD|=|BC|=2\sqrt{17}\), przy czym \(|AB|=2\neq6=|DC|\) — czworokąt jest trapezem równoramiennym (dowód w rozwiązaniu). c) \(x^{2}+\left(y-\dfrac32\right)^{2}=\dfrac{85}{4}\), czyli środek \(O=\left(0,\dfrac32\right)\) i promień \(r=\dfrac{\sqrt{85}}{2}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie łączące algebrę z geometrią analityczną. Punkt startowy to zwykły układ równań: w drugim równaniu \(x\) występuje tylko w postaci \(x^2\), więc możemy wyznaczyć \(x^2\) i wstawić do pierwszego — zostanie równanie z jedną niewiadomą \(y\). **Krok \(2\).** Z drugiego równania \(-x^2+y+4=0\) otrzymujemy \[x^2=y+4.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy to do pierwszego równania: \[-4(y+4)+y^2+2y+1=0,\qquad -4y-16+y^2+2y+1=0,\qquad y^2-2y-15=0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=4+60=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \(y=\dfrac{2-8}{2}=-3\) lub \(y=\dfrac{2+8}{2}=5\). **Krok \(5\).** Wracamy do zależności \(x^2=y+4\). Dla \(y=-3\) mamy \(x^2=1\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Dla \(y=5\) mamy \(x^2=9\), czyli \(x=-3\) lub \(x=3\). Otrzymujemy cztery punkty: \((-1,-3)\), \((1,-3)\), \((3,5)\), \((-3,5)\). Aby czworokąt \(ABCD\) był wypukły, wierzchołki trzeba wypisać w kolejności obiegu, więc przyjmujemy \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). **Krok \(6\).** Podpunkt b). Punkty \(A\) i \(B\) mają tę samą rzędną \(-3\), a punkty \(D\) i \(C\) tę samą rzędną \(5\), więc odcinki \(AB\) i \(DC\) są poziome, a zatem równoległe. Ich długości to \(|AB|=1-(-1)=2\) oraz \(|DC|=3-(-3)=6\). Skoro \(|AB|\neq|DC|\), czworokąt nie jest równoległobokiem, tylko trapezem o podstawach \(AB\) i \(DC\). **Krok \(7\).** Liczymy ramiona: \[|AD|=\sqrt{(-3-(-1))^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17},\] \[|BC|=\sqrt{(3-1)^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.\] Ramiona są równe, więc trapez \(ABCD\) jest równoramienny. **Krok \(8\).** Podpunkt c). Każdy trapez równoramienny da się wpisać w okrąg, więc okrąg opisany istnieje. Jego środek \(S\) jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków; z symetrii figury względem osi \(Oy\) (odcięte wierzchołków tworzą pary \(\pm1\) i \(\pm3\)) leży on na tej osi, więc \(S=(0,b)\). **Krok \(9\).** Wyznaczamy \(b\) z warunku \(|SA|=|SD|\): \[(-1-0)^2+(-3-b)^2=(-3-0)^2+(5-b)^2,\] \[1+b^2+6b+9=9+b^2-10b+25,\] \[6b+10=34-10b,\qquad 16b=24,\qquad b=\frac32.\] **Krok \(10\).** Liczymy promień: \[r^2=|SA|^2=1+\left(-3-\tfrac32\right)^2=1+\left(\tfrac92\right)^2=1+\frac{81}{4}=\frac{85}{4},\qquad r=\frac{\sqrt{85}}{2}.\] Okrąg o środku \(\left(0,\tfrac32\right)\) i promieniu \(r\) ma równanie \(x^2+\left(y-\tfrac32\right)^2=\tfrac{85}{4}\). **Uwaga.** Do wykazania, że trapez jest równoramienny, nie wystarczy sama równość ramion — trzeba jeszcze sprawdzić, że podstawy mają różne długości. Gdyby było \(|AB|=|DC|\), figura byłaby równoległobokiem, a nie trapezem. Drugi wygodny skrót: środka okręgu opisanego szukamy na osi symetrii figury, zamiast rozwiązywać układ trzech równań z dwiema niewiadomymi. **Odpowiedź.** a) \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). b) \(AB\parallel DC\) (oba odcinki są poziome) oraz \(|AD|=|BC|=2\sqrt{17}\), przy czym \(|AB|=2\neq6=|DC|\) — czworokąt jest trapezem równoramiennym. c) \(x^{2}+\left(y-\dfrac32\right)^{2}=\dfrac{85}{4}\), czyli środek \(O=\left(0,\dfrac32\right)\) i promień \(r=\dfrac{\sqrt{85}}{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (2 pkt)** – […]zanie **18.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych wierzchołków czworokąta: \(A=(-1;-3)\), \(B=(1;-3)\), \(C=(3;5)\), \(D=(-3;5)\) **18.3. (1 pkt)** – uzasadnienie że czworokąt \(ABCD\) jest trapezem równoramiennym, np. \(AB\parallel CD\) oraz \(\lvert AD\rvert=\lvert BC\rvert\) **18.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(BC\): \(x+4y-6=0\) **18.5. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka okręgu: \(O=\left(0;\frac{3}{2}\right)\) **18.6. (1 pkt)** – obliczenie długości promienia okręgu: \(r=\frac{\sqrt{85}}{2}\) **18.7. (1 pkt)** – zapisanie równania okręgu: \(x^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{85}{4}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(|AB|=\sqrt{10}\). b) \(m:\ y=-3x+5\). c) \(k:\ y=\dfrac13x-\dfrac53\). d) Prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby należał do niej środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy musiałoby zachodzić \(|AB|=|AC|\); tymczasem \(|AC|=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc środek okręgu opisanego nie należy do prostej \(k\).

**Krok \(1\).** Wszystkie podpunkty to standardowe narzędzia geometrii analitycznej: wzór na długość odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunek prostopadłości \(a_1\cdot a_2=-1\) oraz — w ostatnim podpunkcie — własność środka okręgu opisanego, czyli to, że jest on jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Ze wzoru na długość odcinka dla \(A=(-1,-2)\) i \(B=(2,-1)\): \[|AB|=\sqrt{\big(2-(-1)\big)^2+\big(-1-(-2)\big)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b). Współczynnik kierunkowy prostej przez \(B=(2,-1)\) i \(C=(1,2)\): \[a=\frac{2-(-1)}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3.\] **Krok \(4\).** Wyraz wolny wyznaczamy, wstawiając współrzędne jednego z punktów, na przykład \(B\), do \(y=-3x+b\): \[-1=-3\cdot2+b,\qquad b=5.\] Zatem \(m:\ y=-3x+5\) (sprawdzenie dla \(C\): \(-3\cdot1+5=2\)). **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prosta \(k\) jest prostopadła do \(m\), więc iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\): \[a_k=-\frac{1}{-3}=\frac13.\] **Krok \(6\).** Prosta \(k\) przechodzi przez \(A=(-1,-2)\), więc \[-2=\frac13\cdot(-1)+b,\qquad b=-2+\frac13=-\frac53,\] czyli \(k:\ y=\frac13x-\frac53\). **Krok \(7\).** Podpunkt d). Środek okręgu opisanego \(S=(x,y)\) jest jednakowo oddalony od wierzchołków. Z warunku \(|SA|^2=|SB|^2\): \[(x+1)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2,\] \[2x+1+4y+4=-4x+4+2y+1,\qquad 6x+2y=0.\] **Krok \(8\).** Z warunku \(|SB|^2=|SC|^2\): \[(x-2)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-2)^2,\] \[-4x+4+2y+1=-2x+1-4y+4,\qquad -2x+6y=0.\] **Krok \(9\).** Rozwiązujemy układ \(6x+2y=0\) i \(-2x+6y=0\). Z pierwszego równania \(y=-3x\), po wstawieniu do drugiego \(-2x-18x=0\), czyli \(x=0\), a więc \(y=0\). Zatem \(S=(0,0)\) (sprawdzenie: \(|SA|=|SB|=|SC|=\sqrt5\)). **Krok \(10\).** Sprawdzamy, czy \(S\) leży na prostej \(k\): wstawiamy \(x=0\) i otrzymujemy \(y=\frac13\cdot0-\frac53=-\frac53\neq0\). Punkt \(S=(0,0)\) nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy. **Uwaga.** Podpunkt d) można uzasadnić też bez liczenia \(S\): prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby przechodziła także przez środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy zachodziłoby \(|AB|=|AC|\). Tymczasem \(|AC|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc tak nie jest. Wystarczy jedno z tych uzasadnień. **Odpowiedź.** a) \(|AB|=\sqrt{10}\); b) \(m:\ y=-3x+5\); c) \(k:\ y=\frac13x-\frac53\); d) środek okręgu opisanego to \(S=(0,0)\), a ten punkt nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(\lvert AB\rvert=\sqrt{10}\). **(2 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(m\): \(y=-3x+5\); w tym \(1\) pkt za poprawną metodę. **(1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\): \(\frac{1}{3}\). **(1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(k\): \(y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\). **(1 pkt)** – zapisanie warunku, jaki musiałby spełniać środek okręgu opisanego, aby należał do prostej \(k\). **(1 pkt)** – sprawdzenie warunku i uzasadnienie odpowiedzi: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{20}\ne\sqrt{10}\), więc środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) nie należy do prostej \(k\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Symetralna odcinka \(CD\) ma równanie \(x-4y+3=0\), czyli \(y=\frac14x+\frac34\).

**Krok \(1\).** W treści dostaliśmy gotowy przepis i mamy go powtórzyć dla innego odcinka. Idea jest taka: symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców. Bierzemy więc dowolny punkt \(P=(x,y)\) symetralnej, zapisujemy warunek \(|CP|=|DP|\), podnosimy obie strony do kwadratu (żeby pozbyć się pierwiastków) i upraszczamy otrzymane równanie. **Krok \(2\).** Warunek na punkt symetralnej: \[|CP|=|DP|\iff|CP|^2=|DP|^2.\] Podnoszenie do kwadratu jest tu równoważnością, bo obie strony są nieujemne. **Krok \(3\).** Zapisujemy kwadraty odległości dla \(C=(4,6)\) i \(D=(6,-2)\): \[|CP|^2=(x-4)^2+(y-6)^2,\qquad|DP|^2=(x-6)^2+(y+2)^2.\] **Krok \(4\).** Układamy równanie symetralnej: \[(x-4)^2+(y-6)^2=(x-6)^2+(y+2)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty: \[x^2-8x+16+y^2-12y+36=x^2-12x+36+y^2+4y+4.\] **Krok \(6\).** Wyrazy \(x^2\) i \(y^2\) występują po obu stronach, więc się redukują: \[-8x+16-12y+36=-12x+36+4y+4,\] \[-8x-12y+52=-12x+4y+40.\] **Krok \(7\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[-8x+12x-12y-4y+52-40=0,\] \[4x-16y+12=0.\] Dzielimy obie strony przez \(4\): \[x-4y+3=0,\qquad\text{czyli}\qquad y=\frac14x+\frac34.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: symetralna musi przechodzić przez środek odcinka \(CD\), czyli przez punkt \(S=\left(\frac{4+6}{2},\frac{6+(-2)}{2}\right)=(5,2)\). Podstawiamy: \(5-4\cdot2+3=5-8+3=0\) — zgadza się. **Uwaga.** Najwięcej błędów pojawia się przy rozwijaniu kwadratów ze znakami: \((y-6)^2=y^2-12y+36\), ale \((y+2)^2=y^2+4y+4\). Warto po wszystkim zrobić sprawdzenie środkiem odcinka — zajmuje chwilę, a wyłapuje pomyłkę rachunkową. **Odpowiedź.** Symetralna odcinka \(CD\) ma równanie \(x-4y+3=0\), czyli \(y=\frac14x+\frac34\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] odcinka \(CD\): \(\lvert CP\rvert=\lvert DP\rvert\Leftrightarrow\lvert CP\rvert^{2}=\lvert DP\rvert^{2}\). **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(\lvert CP\rvert^{2}\) i \(\lvert DP\rvert^{2}\): \(\lvert CP\rvert^{2}=(x-4)^{2}+(y-6)^{2}\), \(\lvert DP\rvert^{2}=(x-6)^{2}+(y+2)^{2}\). **4.3. (1 pkt)** – ułożenie równania: \((x-4)^{2}+(y-6)^{2}=(x-6)^{2}+(y+2)^{2}\). **4.4. (1 pkt)** – przekształcenie równania do prostszej postaci i zapisanie równania symetralnej odcinka \(CD\): \(x-4y+3=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.