Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2022

Zadanie z E8 (czerwiec 2022) – graniastosłupy i ostrosłupy

Dane są trzy wielokąty: prostokąt o bokach 3 cm i 8 cm, trójkąt równoramienny T1 o ramionach 5 cm i podstawie 3 cm oraz trójkąt równoramienny T2 o ramionach 6 cm i podstawie 8 cm. Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 6 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy wielokąty: prostokąt o bokach

3\ \text{cm}

8\ \text{cm}

, trójkąt równoramienny

T_1

o ramionach

5\ \text{cm}

i podstawie

3\ \text{cm}

oraz trójkąt równoramienny

T_2

o ramionach

6\ \text{cm}

i podstawie

8\ \text{cm}

. Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa?

A	Tak,	ponieważ	1.	długości boków prostokąta są równe długościom podstaw trójkątów $T_1$ i $T_2$ .

			2.	trójkąty $T_1$ i $T_2$ mają podstawy różnej długości.
B	Nie,
			3.	ramiona trójkąta $T_1$ mają inną długość niż ramiona trójkąta $T_2$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, $3$

Gdyby taki ostrosłup istniał, prostokąt byłby jego podstawą, a trójkąty — ścianami bocznymi opartymi na jego bokach.
Podstawy trójkątów faktycznie pasują do boków prostokąta: $\textcolor{#16A06A}{3}$ do boku $\textcolor{#16A06A}{3}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{8}$ do boku $\textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Do tego miejsca wszystko się zgadza.
Kluczowa obserwacja: ramiona ścian bocznych to krawędzie boczne ostrosłupa, a te schodzą się w jednym wspólnym wierzchołku.
Każda krawędź boczna należy jednocześnie do dwóch sąsiednich ścian, więc trójkąty $T_1$ i $T_2$ muszą mieć identyczne ramiona.
Tymczasem $T_1$ ma ramiona $\textcolor{#E0453A}{5}$ cm, a $T_2$ — $\textcolor{#E0453A}{6}$ cm. Sprzeczność, taki ostrosłup nie istnieje.
Odpowiedź: B, $\boldsymbol{3}$ .

💡 Wskazówka: Rysując ostrosłup na kartce, prześledź jedną krawędź boczną: należy do dwóch trójkątów naraz. Dlatego sąsiednie ściany boczne muszą się zgadzać co do długości wspólnej krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór uzasadnienia $2$ („podstawy różnej długości”). Różne podstawy trójkątów są tu jak najbardziej w porządku — podstawa jest prostokątem, więc jego sąsiednie boki mają się różnić.