Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2023

Zadanie z E8 (czerwiec 2023) – prostopadłościan i sześcian

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa 1 cm. Uzupełnij zdania.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 6 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa 1 cm. Uzupełnij zdania.

Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest AB pole jednej podstawy.

A. takie samo jak
B. dwa razy większe niż

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe CD

C. $24$ cm²
D. $30$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Krok 1 — trzeci bok podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa: $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
Krok 2 — obwód podstawy. $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
Krok 3 — pole boczne. W graniastosłupie prostym to obwód podstawy razy wysokość: $P_b = \textcolor{#E0453A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = 12$ cm².
Krok 4 — pole podstawy. Trójkąt prostokątny: $P_p = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 6$ cm².
Porównanie: $12 = 2 \cdot 6$ , więc pole boczne jest dwa razy większe — odpowiedź B.
Krok 5 — pole całkowite. $P_c = P_b + 2P_p = 12 + 2 \cdot 6 = 24$ cm² — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Wzór $P_b = \text{obwód podstawy} \cdot \text{wysokość}$ działa dla każdego graniastosłupa prostego — nie trzeba liczyć każdej ściany bocznej z osobna.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie pola bocznego tylko z przyprostokątnych ( $3 + 4 = 7$ zamiast $12$ ) — czyli zapomnienie o trzeciej ścianie, opartej na przeciwprostokątnej.