Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2020

Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – prostopadłościan i sześcian

Dwa jednakowe prostopadłościany, każdy o wymiarach 5 cm, 7 cm i 9 cm, sklejono ze sobą. Pierwszy stoi tak, że jego wymiary to 7 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 9 cm (wysokość). Drugi przylega do niego całą ścianą o wymiarach 5 cm × 7 cm i jest ustawiony tak, że jego wymiary to 9 cm (szerokość)…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Dwa jednakowe prostopadłościany, każdy o wymiarach 5 cm, 7 cm i 9 cm, sklejono ze sobą. Pierwszy stoi tak, że jego wymiary to 7 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 9 cm (wysokość). Drugi przylega do niego całą ścianą o wymiarach 5 cm × 7 cm i jest ustawiony tak, że jego wymiary to 9 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 7 cm (wysokość). Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 502 cm²

Metoda jest zawsze ta sama: suma pól obu brył minus dwa razy pole sklejenia.
Krok 1 — pole jednego prostopadłościanu.
$P = 2(\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#16A06A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{9}) = 2(35 + 45 + 63) = 2 \cdot 143 = \textcolor{#E0453A}{286}$ cm².
Krok 2 — obie bryły osobno. $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{286} = \textcolor{#E0453A}{572}$ cm².
Krok 3 — co znika przy sklejeniu. Bryły stykają się ścianą $\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{35}$ cm². Przestają do powierzchni należeć dwie takie ściany — po jednej z każdej bryły:
$2 \cdot \textcolor{#E0453A}{35} = \textcolor{#E0453A}{70}$ cm².
Krok 4 — wynik. $\textcolor{#E0453A}{572} - \textcolor{#E0453A}{70} = 502$ cm².
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej bryły wynosi 502 cm².

💡 Wskazówka: Przy każdym sklejeniu odejmuj podwójne pole styku — znikają dwie ściany, nie jedna. To najczęstsza pułapka w całej stereometrii.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie tylko jednego pola styku (wychodzi $537$ ) albo w ogóle nieodjęcie niczego ( $572$ ). Warto sprawdzić: wynik musi być mniejszy od sumy pól obu brył.