Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2025

Zadanie z E8 (czerwiec 2025) – kąty w figurach

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski: Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych. Wniosek 2…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180°

, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski:
Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180°

, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.
Wniosek 2. Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.
Wniosek 3. Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od

90°

, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.
Które z wniosków są prawdziwe?

A. Tylko 1. i 3.
B. Tylko 1. i 2.
C. Tylko 2. i 3.
D. Tylko 1., 2. i 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wniosek 1 ✓ Dwa kąty proste dałyby już $\textcolor{#16A06A}{90°} + \textcolor{#16A06A}{90°} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ — na trzeci kąt zostałoby zero, co jest niemożliwe. Dwa kąty rozwarte dałyby ponad $\textcolor{#E0453A}{180°}$ — tym bardziej niemożliwe.
Wniosek 2 ✗ Tu Karol pomylił się w rozumowaniu. To prawda, że dwóch kątów rozwartych być nie może — ale trójkąt rozwartokątny ma tylko jeden kąt rozwarty i nic nie stoi na przeszkodzie, by był równoramienny.
Kontrprzykład: trójkąt o kątach $\textcolor{#16A06A}{120°}$ , $\textcolor{#16A06A}{30°}$ , $\textcolor{#16A06A}{30°}$ — rozwartokątny i równoramienny.
Wniosek 3 ✓ Jeśli dwa kąty dają razem więcej niż $90°$ , to trzeci wynosi $\textcolor{#E0453A}{180°}$ minus coś większego od $90°$ , czyli mniej niż $90°$ — jest ostry.
Prawdziwe są wnioski 1. i 3. — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „nie istnieje”, wystarczy podać jeden przykład. Tutaj trójkąt $120°$ – $30°$ – $30°$ rozstrzyga sprawę natychmiast.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie wniosku 2. za prawdziwy, bo jego pierwsza część („nie może mieć dwóch kątów rozwartych”) jest prawdziwa. Prawdziwa przesłanka nie gwarantuje prawdziwego wniosku.