Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2024

Zadanie z E8 (czerwiec 2024) – kąty w figurach

Kąty α, β, γ pewnego trójkąta spełniają dwa warunki: α + β = 130° oraz α + γ = 120°. Oceń prawdziwość podanych zdań.

1pkt · średnie

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kąty

\alpha

\beta

\gamma

pewnego trójkąta spełniają dwa warunki:

\;\alpha + \beta = 130°\;

oraz

\;\alpha + \gamma = 120°

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt $\alpha$ ma miarę $70°$ .	P	F
Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa $20°$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Kluczowa obserwacja: gdy dodamy oba warunki, kąt $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ policzymy dwa razy.
$(\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta) + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \gamma) = 130° + 120° = 250°$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta + \gamma) = 250°$ .
Ale $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta + \gamma = \textcolor{#E0453A}{180°}$ (suma kątów trójkąta), więc $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#E0453A}{180°} = 250°$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 70°$ ✓ — zdanie 1 prawdziwe.
Wyznaczamy pozostałe: $\beta = 130° - 70° = \textcolor{#16A06A}{60°}$ , $\gamma = 120° - 70° = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Zdanie 2. Największy kąt to $70°$ , najmniejszy $\textcolor{#16A06A}{50°}$ , a ich różnica to $20°$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. Sprawdzenie: $70° + 60° + 50° = \textcolor{#E0453A}{180°}$ ✓

💡 Wskazówka: Sztuczka z dodawaniem obu warunków działa zawsze, gdy w każdym występuje ta sama niewiadoma. Po dodaniu pojawia się pełna suma kątów, którą znasz.

⚠ Najczęstszy błąd: rozwiązywanie układu „na piechotę” przez podstawianie i pogubienie się w znakach. Sposób z dodawaniem to jedna linijka.