Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2022

Zadanie z E8 (maj 2022) – kąty w figurach

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA ma miarę 35°. Punkt D leży na boku BC. Odcinek AD ma taką samą długość jak odcinek BD. Kąt ADC ma miarę 130°. Dokończ zdanie. Kąt CAB ma miarę

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt

ABC

, w którym kąt

BCA

ma miarę $35°$ . Punkt

D

leży na boku

BC

. Odcinek

AD

ma taką samą długość jak odcinek

BD

. Kąt

ADC

ma miarę $130°$ . Dokończ zdanie.
Kąt

CAB

ma miarę

A. $95°$
B. $75°$
C. $90°$
D. $80°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kąt $CAB$ rozbijamy na dwie części: $\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB$ . Liczymy każdą osobno.
Część pierwsza — trójkąt $ACD$ . Znamy dwa kąty: $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{35°}$ i $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{130°}$ .
$\angle CAD = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{35°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{15°}$ .
Część druga — trójkąt $ABD$ . Kąt $ADB$ jest przyległy do $\angle ADC$ (punkt $D$ leży na odcinku $BC$ ):
$\angle ADB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Skoro $AD = BD$ , trójkąt $ABD$ jest równoramienny, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe:
$\angle DAB = \angle DBA = (\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{65°}$ .
Składamy: $\angle CAB = \textcolor{#16A06A}{15°} + \textcolor{#16A06A}{65°} = 80°$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy punkt leży na boku trójkąta, kąty po obu jego stronach są przyległe — sumują się do $180°$ . To zwykle pierwszy krok w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $130°$ jako kąta $ADB$ zamiast $ADC$ . Wtedy trójkąt $ABD$ miałby kąty przy podstawie po $25°$ i cała odpowiedź byłaby błędna.