Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2020

Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – twierdzenie pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30° suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie. Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym

30°

suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

A. $4\sqrt{2}$ cm
B. $4\sqrt{3}$ cm
C. $6$ cm
D. $8$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność trójkąta $30°$ – $60°$ – $90°$ : bok leżący naprzeciw kąta $30°$ jest równy połowie przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przeciwprostokątną przez $\textcolor{#E0453A}{c}$ . Wtedy krótsza przyprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{c}{2}}$ .
Z warunku zadania: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}}{2}} + \textcolor{#E0453A}{c} = 12$ , czyli $\dfrac{3\textcolor{#E0453A}{c}}{2} = 12$ , więc $\textcolor{#E0453A}{c} = 8$ cm.
Krótsza przyprostokątna: $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
Dłuższą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{8}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3$ cm.
Odpowiedź B. (Można też wprost ze wzoru: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2} = \dfrac{8\sqrt3}{2} = 4\sqrt3$ .)

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$ . Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta $60°$ . Naprzeciw mniejszego kąta leży zawsze krótszy bok — to reguła warta zapamiętania.