Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – twierdzenie pitagorasa

Odpowiedź: P, P

1. Oznaczmy trapez $ABCD$: $AB$ to dłuższa podstawa, $DC$ krótsza, a $AD$ — ramię prostopadłe do obu podstaw, czyli wysokość. Krótszą przekątną jest $AC$.
2. Pierwszy trójkąt ($ACD$). Ma kąt prosty przy $D$, a skoro jest równoramienny, jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{DC}$.
3. To dokładnie treść pierwszego zdania: wysokość $=$ krótsza podstawa ✓ — prawda. Oznaczmy tę wspólną długość przez $\textcolor{#16A06A}{h}$.
4. Przekątna: $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2$ (przeciwprostokątna trójkąta $45°$–$45°$–$90°$).
5. Drugi trójkąt ($ABC$). Też prostokątny równoramienny, a jego przyprostokątnymi są $\textcolor{#E0453A}{AC}$ i $CB$ — kąt prosty leży więc przy $C$.
6. Wtedy $AB$ jest przeciwprostokątną: $AB = \textcolor{#E0453A}{AC} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\textcolor{#16A06A}{h}$.
7. Drugie zdanie: wysokość $\textcolor{#16A06A}{h}$ to połowa z $2\textcolor{#16A06A}{h}$ ✓ — prawda.
8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma żadnych liczb, wprowadź własną — tutaj $h$. Wszystkie pozostałe długości wyrażą się przez nią i zdania da się sprawdzić algebraicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że w drugim trójkącie kąt prosty jest przy $B$. Wtedy $AC$ byłaby przeciwprostokątną i wyszłyby sprzeczne długości — warto sprawdzić, czy przyjęte założenie się „domyka”.