Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2021

Zadanie z E8 (czerwiec 2021) – pola figur

Równoległobok ABCD zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych. Boki równoległoboku mają długości |AB| = 24 cm i |AD| = 13 cm. Oblicz pole równoległoboku ABCD. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 29 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

Równoległobok

ABCD

zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych. Boki równoległoboku mają długości

|AB| = 24

cm i

|AD| = 13

cm. Oblicz pole równoległoboku

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 120 cm²

Oznaczmy przyprostokątne każdego z czterech trójkątów: $\textcolor{#16A06A}{x}$ (pozioma) i $\textcolor{#E0453A}{h}$ (pionowa — to zarazem wysokość równoległoboku).
Bok $AD = 13$ cm jest przeciwprostokątną takiego trójkąta, więc $\textcolor{#16A06A}{x}^2 + \textcolor{#E0453A}{h}^2 = 169$ .
Kluczowy krok — porównujemy pole na dwa sposoby.
Jako suma czterech trójkątów: $P = 4 \cdot \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{h} = 2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Jako równoległobok (podstawa razy wysokość): $P = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ .
Przyrównujemy: $2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h} = 24\textcolor{#E0453A}{h}$ , skąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 12$ cm.
Teraz z Pitagorasa: $\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{169 - \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
Pole: $P = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 120$ cm².
Odpowiedź: pole równoległoboku wynosi 120 cm².

💡 Wskazówka: Sztuczka „policz to samo pole dwoma sposobami” jest bardzo skuteczna w figurach złożonych — daje równanie, którego inaczej trudno się doszukać.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość równoległoboku wynosi 13 cm (bo tyle ma bok $AD$ ). Bok ukośny jest zawsze dłuższy od wysokości — mylenie ich to najczęstsza pomyłka w całym dziale.