Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2019

Zadanie z E8 (czerwiec 2019) – pola figur

Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny (o przeciwprostokątnej 6√2 ) oraz kwadrat (o boku x ) mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 31 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny (o przeciwprostokątnej

6\sqrt{2}

) oraz kwadrat (o boku

x

) mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12√2

Krok 1 — przyprostokątne trójkąta. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.
Skoro przeciwprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2}$ , przyprostokątna wynosi $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2} : \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{18}$ .
Krok 3 — bok kwadratu. Pola są równe, więc $x^2 = \textcolor{#E0453A}{18}$ , czyli $x = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ .
Krok 4 — obwód. $4x = 4 \cdot 3\sqrt2 = 12\sqrt2$ .
Odpowiedź: obwód kwadratu wynosi $12\sqrt2$ .

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ . Szukamy pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego — tutaj dziewiątki.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $6\sqrt2$ jako przyprostokątnej. Wtedy pole wyszłoby $36$ , a obwód $24$ — bez pierwiastka, co przy takim zadaniu powinno zwrócić uwagę.