Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2022

Zadanie z E8 (maj 2022) – pola figur

Trapez KLMN zbudowano z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Krótsza podstawa NM ma 3 cm, a wysokość trapezu (bok NK ) ma 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 11 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Trapez

KLMN

zbudowano z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Krótsza podstawa

NM

ma 3 cm, a wysokość trapezu (bok

NK

) ma 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trapezu $KLMN$ jest równe 18 cm².	P	F
Obwód trapezu $KLMN$ jest równy 18 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1 — pole. Najprościej policzyć je jako sumę trzech trójkątów, bez wzoru na trapez.
Pole jednego trójkąta: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 6$ cm². Trzy trójkąty: $3 \cdot 6 = 18$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2 — obwód. Potrzebujemy długości wszystkich czterech boków.
Sprawdźmy dłuższą podstawę ze wzoru na pole trapezu: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + KL}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 18$ , skąd $\textcolor{#16A06A}{3} + KL = 9$ , czyli $KL = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
Ramię ukośne $ML$ to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli $\sqrt{9 + 16} = 5$ cm.
Obwód: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4} + 5 = 18$ cm ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. (Zbieżność liczb 18 i 18 to przypadek — jedna jest w cm², druga w cm.)

💡 Wskazówka: Trójkąt o przyprostokątnych $3$ i $4$ ma przeciwprostokątną $5$ — najbardziej znana trójka pitagorejska. Warto ją rozpoznawać od razu.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako sumy obwodów trzech trójkątów ( $3 \cdot 12 = 36$ cm). Boki, którymi trójkąty się stykają, leżą wewnątrz trapezu i nie należą do obwodu.