Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – graniastosłupy i ostrosłupy

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Jeżeli długość każdej krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zwiększymy 2 razy, a jego wysokość zmniejszymy 2 razy, to objętość ostrosłupa

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 16 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Jeżeli długość każdej krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zwiększymy

2

razy, a jego wysokość zmniejszymy

2

razy, to objętość ostrosłupa

A. zwiększy się czterokrotnie.
B. zwiększy się dwukrotnie.
C. zmniejszy się dwukrotnie.
D. nie zmieni się.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Objętość początkowa: $V = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{a}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H}$ .
Po zmianach: krawędź podstawy to $\textcolor{#16A06A}{2a}$ , a wysokość $\textcolor{#E0453A}{\tfrac{H}{2}}$ .
$V' = \tfrac13 \cdot (\textcolor{#16A06A}{2a})^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{H}{2}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{4a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{H}{2}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{2a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{H}$
Porównanie: $V' = 2 \cdot \left(\tfrac13 \textcolor{#16A06A}{a}^2 \textcolor{#E0453A}{H}\right) = 2V$ .
Objętość zwiększy się dwukrotnie — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Krawędź podstawy wchodzi do wzoru w kwadracie, więc jej podwojenie daje czterokrotny wzrost pola podstawy. Wysokość wchodzi liniowo, więc jej połowienie dzieli wynik przez $2$ . Razem: $4 : 2 = 2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że „razy $2$ i przez $2$ się znosi”, czyli odpowiedź D. Nie znosi się, bo krawędź podstawy występuje w kwadracie, a wysokość — w pierwszej potędze.