Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2020

Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – twierdzenie pitagorasa

Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach AB = 7 i DC = 5 oraz wysokości 3. Podstawa AB została przedłużona do punktu E, tworząc trójkąt BEC (o tej samej wysokości, bo wierzchołek C leży na tej samej prostej co D ). Pole trapezu ABCD jest trzy razy większe od pola trójkąta BEC. Oblicz długość…

Rozwiązanie tekstem ↓

2pkt · średnie

Rozwiązanie zadania z matematyki – E8 (czerwiec 2020), twierdzenie pitagorasa: Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach AB = 7 i DC = 5 oraz wysokości 3. Podstawa AB została… Odpowiedź: 4 — Zadanie – E8 (czerwiec 2020), twierdzenie pitagorasa: rozwiązanie krok po kroku z odpowiedzią.

Treść zadania i rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

jest trapezem o podstawach

AB = 7

DC = 5

oraz wysokości 3. Podstawa

AB

została przedłużona do punktu

E

, tworząc trójkąt

BEC

(o tej samej wysokości, bo wierzchołek

C

leży na tej samej prostej co

D

). Pole trapezu

ABCD

jest trzy razy większe od pola trójkąta

BEC

. Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4

Krok 1 — pole trapezu. $P_{ABCD} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{18}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. Jest trzy razy mniejsze: $\textcolor{#16A06A}{18} : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 3 — szukany odcinek. Trójkąt $BEC$ ma podstawę $BE$ i tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{3}$ (wierzchołek $C$ leży na prostej równoległej do $AE$ ):
$\textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac12 \cdot BE \cdot \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{6} = 1{,}5 \cdot BE$ .
Stąd $BE = 4$ .
Odpowiedź: odcinek $BE$ ma długość 4.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: trójkąt i trapez mają tę samą wysokość, bo wierzchołek $C$ leży na tej samej prostej co bok $DC$ . Bez tego zadania nie da się rozwiązać.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole trójkąta — wychodzi wtedy $BE = 2$ . Warto zapisać wzór w pełnej postaci, zanim się podstawi liczby.