Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2022

Zadanie z E8 (czerwiec 2022) – obwody figur

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 120°. Obwód tego rombu jest równy 24 cm. Dokończ zdanie. Dłuższa przekątna tego rombu ma długość

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę

120°

. Obwód tego rombu jest równy 24 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przekątna tego rombu ma długość

A. $3\sqrt{3}$ cm
B. $6$ cm
C. $6\sqrt{3}$ cm
D. $12$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — bok rombu. Romb ma cztery równe boki, więc bok $= 24 : 4 = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
Krok 2 — który to trójkąt? Dłuższa przekątna łączy wierzchołki kątów ostrych, czyli odcina trójkąt zawierający kąt $\textcolor{#E0453A}{120°}$ .
Ten trójkąt jest równoramienny (dwa boki rombu po $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm) z kątem $\textcolor{#E0453A}{120°}$ między nimi.
Krok 3 — długość przekątnej. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta $\textcolor{#E0453A}{120°}$ dzieli trójkąt na dwie połówki o kątach $30°$ , $60°$ , $90°$ .
W takim trójkącie przy przeciwprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm bok naprzeciw kąta $60°$ ma $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$ cm — to połowa przekątnej.
Cała dłuższa przekątna: $2 \cdot 3\sqrt3 = 6\sqrt3$ cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola sensowności: $6\sqrt3 \approx 10{,}4$ cm. Przekątna rombu o boku 6 musi być krótsza od $12$ cm (sumy dwóch boków) i to się zgadza. Odpowiedź D ( $12$ cm) jest więc niemożliwa.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnych. Krótsza przekątna leży naprzeciw kąta $\textcolor{#E0453A}{120°}$ … nie — naprzeciw kąta ostrego $60°$ , i wynosi wtedy dokładnie $6$ cm (trójkąt równoboczny). Stąd kusząca odpowiedź B.