Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2023

Zadanie z E8 (czerwiec 2023) – pola figur

Dane są dwa równoległoboki: ABCD (o podstawie AB ) oraz ECFD. Punkt E leży na boku AB, przy czym odcinek DE jest prostopadły do AB — jest więc wysokością równoległoboku ABCD. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 9 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są dwa równoległoboki: $ABCD$ (o podstawie

AB

) oraz $ECFD$ . Punkt

E

leży na boku

AB

, przy czym odcinek

DE

jest prostopadły do

AB

— jest więc wysokością równoległoboku

ABCD

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ jest jedną z wysokości równoległoboku $ECFD$ .	P	F
Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe polu równoległoboku $ECFD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. W równoległoboku $ABCD$ bok $DC$ jest równoległy do $AB$ . Skoro $DE \perp AB$ , to również $DE \perp DC$ .
Odcinek $DC$ łączy wierzchołek $D$ (leżący na boku $DE$ równoległoboku $ECFD$ ) z wierzchołkiem $C$ (leżącym na boku przeciwległym $CF$ ) i jest do nich prostopadły.
Spełnia więc definicję wysokości równoległoboku $ECFD$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Liczymy oba pola przez „podstawa razy wysokość”:
$P_{ABCD} = \textcolor{#16A06A}{AB} \cdot \textcolor{#E0453A}{DE}$ (podstawa $AB$ , wysokość $DE$ ).
$P_{ECFD} = \textcolor{#16A06A}{DE} \cdot \textcolor{#E0453A}{DC}$ (podstawa $DE$ , wysokość $DC$ — z pierwszego zdania).
W równoległoboku $ABCD$ boki przeciwległe są równe, czyli $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#E0453A}{DC}$ .
Oba iloczyny zawierają więc te same dwie liczby — pola są równe ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Wysokość równoległoboku to dowolny odcinek prostopadły do pary boków równoległych i sięgający od jednego do drugiego — nie musi wychodzić z wierzchołka ani leżeć wewnątrz figury.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległoboki wyglądają na różnie „rozciągnięte”, to mają różne pola. Decyduje wyłącznie iloczyn podstawy i wysokości.