Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2015) – graniastosłupy i ostrosłupy

Dane są ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa 36 cm³. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 12 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dane są ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa

36\ \text{cm}^3

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.	P	F
Krawędź sześcianu ma długość $3\ \text{cm}$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy krawędź sześcianu przez $a$ . Wtedy podstawa obu brył ma pole $\textcolor{#16A06A}{a^2}$ , a wysokość obu wynosi $\textcolor{#E0453A}{a}$ (bo sześcian ma wszystkie krawędzie równe).
Zdanie $\boldsymbol{1}$ . Objętości liczymy ze wzorów:
$V_{\text{sześcianu}} = \textcolor{#16A06A}{a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{a} = a^3$ , $V_{\text{ostrosłupa}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{a} = \tfrac13 a^3$ .
Sześcian jest dokładnie trzy razy większy — prawda. (To zresztą ogólna zasada: przy tej samej podstawie i wysokości ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup.)
Zdanie $\boldsymbol{2}$ . Sumujemy objętości:
$a^3 + \tfrac13 a^3 = \tfrac43 a^3 = 36$
$a^3 = 36 \cdot \tfrac34 = 27$ , więc $a = 3$ cm — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Skoro sześcian jest trzy razy większy, to suma dzieli się na cztery równe części: ostrosłup ma $36 : 4 = 9$ cm³, a sześcian $27$ cm³. Stąd od razu $a = 3$ .

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $36$ na pół i przypisanie każdej bryle $18$ cm³. Bryły mają wspólną podstawę i wysokość, ale nie równe objętości — dzieli je właśnie ta jedna trzecia.