Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2022

Zadanie z E8 (maj 2022) – wyrażenia algebraiczne

Dane jest wyrażenie n⁴ - 3/6 oraz liczby: -3, -1, 0, 1, 3. Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\dfrac{n^4 - 3}{6}

oraz liczby:

-3

-1

0

1

3

. Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza?

A. $-3$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa obserwacja: mianownik ( $6$ ) jest stały, a w liczniku odejmujemy stałą trójkę. O wyniku decyduje więc wyłącznie $\textcolor{#16A06A}{n^4}$ — im mniejsze, tym mniejsza cała wartość.
Czwarta potęga to parzysta potęga, więc zawsze wychodzi liczba nieujemna, a znak $n$ nie ma znaczenia:
$n = -3$ lub $3$ : $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{81}$ · $n = -1$ lub $1$ : $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{1}$ · $n = 0$ : $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Najmniejsze $\textcolor{#16A06A}{n^4}$ daje $n = 0$ , więc tam wartość wyrażenia jest najmniejsza: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{0} - 3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ .
Dla porównania: dla $n = \pm 1$ wychodzi $-\dfrac{1}{3}$ (więcej), a dla $n = \pm 3$ aż $13$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Nie musisz liczyć wszystkich pięciu wartości. Wystarczy zauważyć, że wyrażenie rośnie razem z $n^4$ — a $n^4$ jest najmniejsze dla $n$ najbliższego zeru.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $n = -3$ , bo „to najmniejsza z podanych liczb”. Czwarta potęga zamienia $-3$ w $81$ — największą wartość ze wszystkich. Drugi błąd: uznanie $(-1)^4 = -1$ .