Egzamin ósmoklasisty · matematyka · materiały CKE

Zadanie z E8 (materiały CKE) – wyrażenia algebraiczne

Z każdego narożnika prostokąta odcięto kwadrat o boku a i otrzymano figurę w kształcie krzyża. Z wymiarów zaznaczonych na rysunku wynika, że górna krawędź prostokąta składa się z odcinków a, 3 i a, a prawa krawędź — z odcinków a, 1 i a. Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące pole zacieniowanej…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 8 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Z każdego narożnika prostokąta odcięto kwadrat o boku

a

i otrzymano figurę w kształcie krzyża. Z wymiarów zaznaczonych na rysunku wynika, że górna krawędź prostokąta składa się z odcinków

a

3

a

, a prawa krawędź — z odcinków

a

1

a

. Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące pole zacieniowanej figury i oblicz jego wartość dla

a = 2{,}5

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 8a + 3, dla a = 2,5 pole wynosi 23

Krok 1 — wymiary całego prostokąta. Składamy je z zaznaczonych odcinków:
szerokość: $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{2a + 3}$
wysokość: $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{2a + 1}$
Krok 2 — pole prostokąta.
$(\textcolor{#16A06A}{2a+3})(\textcolor{#16A06A}{2a+1}) = 4a^2 + 2a + 6a + 3 = \textcolor{#E0453A}{4a^2 + 8a + 3}$
Krok 3 — odejmujemy cztery wycięte kwadraty. Każdy ma pole $a^2$ :
$P = \textcolor{#E0453A}{4a^2 + 8a + 3} - \textcolor{#E0453A}{4a^2} = 8a + 3$
Kwadratowe wyrazy się skróciły — zostaje wyrażenie liniowe.
Krok 4 — wartość dla $a = 2{,}5$ .
$8 \cdot 2{,}5 + 3 = 20 + 3 = 23$
Odpowiedź: pole opisuje wyrażenie $8a + 3$ , a dla $a = 2{,}5$ wynosi 23.

💡 Wskazówka: Można też liczyć krzyż wprost, jako trzy prostokąty: pionowa belka $3 \times (2a+1)$ plus dwa boczne kawałki $a \times 1$ każdy. Wychodzi $6a + 3 + 2a = 8a + 3$ ✓ — ta sama odpowiedź, mniej rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd przy mnożeniu nawiasów: pomnożenie tylko „pierwszy razy pierwszy i drugi razy drugi” ( $4a^2 + 3$ ). Trzeba wymnożyć każdy składnik przez każdy — stąd biorą się wyrazy $2a$ i $6a$ .