Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2020

Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – wyrażenia algebraiczne

Czworokąt ABCD podzielono przekątną AC na dwa trójkąty. Długości odcinków opisano wyrażeniami algebraicznymi: AD = x - 5, DC = x - 7, AC = x - 4, CB = x - 4 oraz AB = x. Obwód trójkąta ABC jest równy 31. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Czworokąt

ABCD

podzielono przekątną

AC

na dwa trójkąty. Długości odcinków opisano wyrażeniami algebraicznymi:

AD = x - 5

DC = x - 7

AC = x - 4

CB = x - 4

oraz

AB = x

. Obwód trójkąta

ABC

jest równy 31. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Odcinek $AC$ jest o 4 jednostki dłuższy od odcinka $CD$ .	P	F
Obwód trójkąta $ACD$ jest równy 23.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — wyznaczamy $x$ z obwodu trójkąta $ABC$ . Jego boki to $AB$ , $BC$ i $CA$ :
$\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{(x-4)} + \textcolor{#16A06A}{(x-4)} = 31$
$3x - 8 = 31$ , czyli $3x = 39$ , więc $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{13}$ .
Krok 2 — obliczamy wszystkie odcinki.
$AB = \textcolor{#E0453A}{13}$ • $AC = \textcolor{#E0453A}{13} - 4 = 9$ • $CB = 9$ • $AD = \textcolor{#E0453A}{13} - 5 = 8$ • $DC = \textcolor{#E0453A}{13} - 7 = 6$
Zdanie 1. $AC - CD = 9 - 6 = 3$ , a nie $4$ — fałsz.
Zdanie 2. Obwód trójkąta $ACD$ : $9 + 6 + 8 = 23$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Różnicę z pierwszego zdania można sprawdzić bez liczenia $x$ : $AC - CD = (x-4) - (x-7) = 3$ . Ta różnica jest stała, niezależnie od wartości $x$ .

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do obwodu trójkąta $ABC$ także boków $AD$ i $DC$ . Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma swoje trzy boki.