Strona główna › Geometria › Prosta, półprosta i odcinek

Prosta, półprosta i odcinek

Prosta, półprosta i odcinek wyglądają na rysunku prawie tak samo — jako kreska. Różni je jedna rzecz: gdzie się kończą. Z niej wynika wszystko inne, łącznie z faktem, który zaskakuje: tylko odcinek ma długość. Pytanie „ile mierzy ta prosta” nie ma odpowiedzi — i nie jest nią „nieskończoność”.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 5

Krótko: Prosta jest nieograniczona w obie strony, półprosta ma początek i biegnie w jedną stronę, a odcinek ma dwa końce i określoną długość.

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Trzy figury, jedna różnica

Zacznijmy od punktu — najprostszej figury, która nie ma ani długości, ani szerokości. Oznaczamy go wielką literą: AA, BB, CC. Punkt tylko wskazuje miejsce.

Z punktów budujemy pozostałe trzy figury, a różni je wyłącznie to, gdzie się urywają:

figuragdzie się kończyile ma końcówczy ma długość
prostanigdzie — biegnie bez końca w obie strony00nie
półprostaz jednej strony ma początek11nie
odcinekz obu stron22tak
Prosta AB ze strzałkami w obie strony, półprosta AB z początkiem w A i strzałką za B oraz odcinek AB z dwoma końcamiprostaABpółprostaABodcinekAB
Rysunek 1. Te same dwa punkty AA i BB, trzy figury. Prosta biegnie bez końca w obie strony (dwie strzałki), półprosta ma początek w AA i biegnie dalej przez BB (jedna strzałka), odcinek kończy się w AA i w BB — tylko on ma długość ∣AB∣|AB|.

Na rysunku prostą i półprostą oznaczamy strzałkami w tych kierunkach, w których biegną dalej niż kartka. Odcinek strzałek nie ma — kończy się kropkami albo kreseczkami w punktach końcowych.

Najprostszy sposób zapamiętania

Prosta — droga bez początku i końca.

Półprosta — promień światła z latarki: ma źródło, ale nie ma miejsca, w którym się kończy.

Odcinek — kawałek sznurka: ma dwa końce, które można chwycić.

Warto od razu zauważyć, że punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie półproste o wspólnym początku. To najkrótsze wyjaśnienie, skąd bierze się nazwa: półprosta to połowa prostej.

Prosta, półprosta i odcinek przez punkty A i B: prosta bez końców, półprosta z początkiem w A, odcinek z końcami A i B — tylko odcinek ma długość
Prosta, półprosta i odcinek — czym się różnią i która figura ma długość.

2Jak je zapisywać

Każdą z tych figur wyznaczają punkty i stąd bierze się zapis.

figurazapisco znaczą litery
prostaprosta ABAB albo kkdwa dowolne jej punkty
półprostapółprosta ABABAA to początek, BB wskazuje kierunek
odcinekodcinek ABABAA i BB to końce
długość odcinka∣AB∣|AB|sama liczba, np. ∣AB∣=4,7|AB| = 4{,}7 cm

Przy półprostej kolejność liter ma znaczenie: półprosta ABAB zaczyna się w AA i biegnie przez BB, a półprosta BABA zaczyna się w BB i biegnie w przeciwną stronę. To dwie różne figury.

Półprosta AB zaczyna się w A i biegnie w prawo przez B; półprosta BA zaczyna się w B i biegnie w lewo przez AABABpółprosta ABpółprosta BA
Rysunek 2. Półprosta ABAB (niebieska) zaczyna się w AA i biegnie przez BB w prawo. Półprosta BABA (zielona) zaczyna się w BB i biegnie przez AA w lewo. To dwie różne figury — pierwsza litera to zawsze początek.

Przy prostej i odcinku kolejność jest obojętna — odcinek ABAB to ten sam odcinek co BABA.

Kreski pionowe oznaczają długość. Zapis ABAB to figura, a ∣AB∣|AB| to liczba. Dlatego pisze się „∣AB∣=5|AB| = 5 cm”, a nie „AB=5AB = 5 cm” — figura nie równa się liczbie.

Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą. To jedno z najstarszych założeń geometrii i powód, dla którego wystarczą dwie litery, żeby jednoznacznie wskazać prostą.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Dlaczego tylko odcinek ma długość

Bo długość mierzy się od czegoś do czegoś — a prosta i półprosta nie mają obu końców.

Odcinek ma dwa końce, więc da się przyłożyć linijkę i odczytać wynik. Podstawa programowa stawia to jako osobne wymaganie — dział VII, punkt 4: „mierzy odcinek z dokładnością do 1 mm”, czyli do jednej dziesiątej centymetra.

∣AB∣=4,7 cm=47 mm|AB| = 4{,}7\text{ cm} = 47\text{ mm}

Półprosta i prosta biegną bez końca, więc nie mają czego mierzyć. Potocznie mówi się, że ich długość jest nieskończona; w szkolnej geometrii pytanie o długość dotyczy zawsze odcinka.

Częsty błąd myślowy

„Prosta ma nieskończoną długość” brzmi rozsądnie i jest tak formułowane potocznie, ale w szkolnej geometrii prostej po prostu się nie mierzy.

Mierzymy odcinki. Jeśli w zadaniu pada pytanie o długość, chodzi o odcinek — nawet gdy narysowano prostą, na której ten odcinek leży.

Przy jednostkach warto pamiętać, że wynik pomiaru zapisuje się z jednostką i że przeliczanie między nimi opisuję przy jednostkach długości.

4Odległość punktu od prostej

To jedno z wymagań podstawy programowej i pojęcie mniej oczywiste, niż się wydaje.

Z punktu leżącego poza prostą można poprowadzić nieskończenie wiele odcinków do tej prostej. Najkrótszy jest wśród nich tylko jeden, ale każdą większą długość osiągają dwa odcinki — symetryczne względem spodka prostopadłej. Przy wysokości 33 cm oba odcinki trafiające w prostą 44 cm od spodka mają po 55 cm. Który z nich nazywamy odległością?

Odległość to zawsze ten najkrótszy

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z tego punktu do prostej.

Jest on najkrótszy ze wszystkich możliwych — i to nie jest umowa, tylko wniosek.

Dlaczego prostopadły jest najkrótszy? Poprowadźmy z punktu odcinek prostopadły o długości 33 cm, a potem jakikolwiek inny, trafiający w prostą o 44 cm dalej. Te dwa odcinki wraz z kawałkiem prostej tworzą trójkąt prostokątny, w którym prostopadły jest przyprostokątną, a ten drugi — przeciwprostokątną.

3<32+42=25=5\textcolor{#16A06A}{3} < \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}

A przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa od każdej przyprostokątnej — to wynika z twierdzenia Pitagorasa. Każdy ukośny odcinek musi więc być dłuższy od prostopadłego.

Ta sama zasada wraca potem przy wysokości figur: wysokość trójkąta, trapezu czy równoległoboku to zawsze odcinek prostopadły — bo mierzy właśnie odległość.

Odległość punktu P od prostej k to długość odcinka prostopadłego d; każdy odcinek ukośny jest dłuższy
Odległość punktu od prostej mierzy się odcinkiem prostopadłym.

5Gdzie te pojęcia wracają

Prosta, półprosta i odcinek są cegiełkami, z których zbudowana jest cała geometria — i dlatego warto je mieć uporządkowane wcześnie.

Zwróć uwagę na drugi punkt: kąt tworzą dwie półproste, a nie dwa odcinki. Dlatego kąta nie da się „wydłużyć” ani „skrócić” — jego ramiona i tak biegną bez końca, a mierzy się samo rozwarcie.

To także powód, dla którego przy prostych równoległych mówi się o kątach, a nie o odległościach między odcinkami. Piszę o tym przy kątach między prostymi równoległymi.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: liczenie prostych i odcinków, zapis oraz odległość od prostej.

Przykład 1 Ile prostych, ile odcinków

Na płaszczyźnie zaznaczono cztery punkty, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Ile odcinków wyznaczają? A ile prostych przechodzi przez dwa wybrane punkty?

  1. Każde dwa punkty wyznaczają jeden odcinek, więc liczę pary.
  2. Nazwijmy punkty AA, BB, CC, DD. Pary to: ABAB, ACAC, ADAD, BCBC, BDBD, CDCD.
  3. To daje sześć odcinków.
  4. Sprawdzenie rachunkiem: liczba par z czterech elementów to 4⋅32=6\frac{4 \cdot 3}{2} = 6 ✓
  5. Druga część: przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta — to podstawowe założenie geometrii.
  6. Kontrola sensu: odcinek ABAB i odcinek BABA to ta sama figura, więc każdą parę liczę raz — dlatego dzielimy przez dwa ✓

Odpowiedź: Sześć odcinków; przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Dzielenie przez dwa jest tu jedynym miejscem, gdzie łatwo się pomylić. Bierze się stąd, że odcinek nie ma kierunku — w odróżnieniu od półprostej, gdzie ABAB i BABA są różne.

Przykład 2 Zapis i pomiar

Uczeń zmierzył odcinek i zapisał: „AB=4,7AB = 4{,}7 cm”. Co jest nie tak i jak powinno być?

  1. Zapis ABAB oznacza figurę — sam odcinek jako zbiór punktów.
  2. 4,74{,}7 cm to liczba z jednostką, czyli wynik pomiaru.
  3. Figura nie może równać się liczbie, więc zapis jest niepoprawny.
  4. Długość odcinka oznaczamy kreskami pionowymi: ∣AB∣|AB|.
  5. Poprawnie: ∣AB∣=4,7|AB| = 4{,}7 cm.
  6. Kontrola przez jednostki: 4,74{,}7 cm to 4747 mm, czyli pomiar z dokładnością do 11 mm — dokładnie tak, jak wymaga podstawa programowa ✓

Odpowiedź: Powinno być ∣AB∣=4,7|AB| = 4{,}7 cm.

Ta różnica wydaje się formalnością, ale porządkuje myślenie: ABAB rysujemy, a ∣AB∣|AB| liczymy. Ten sam zapis wraca później przy wartości bezwzględnej i przy odległościach w układzie współrzędnych.

Przykład 3 Który odcinek jest odległością

Z punktu PP poprowadzono do prostej kk trzy odcinki: prostopadły o długości 33 cm oraz dwa ukośne, o długościach 3,23{,}2 cm i 55 cm. Który z nich jest odległością punktu od prostej?

  1. Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego — z definicji.
  2. Zatem odległość wynosi 33 cm.
  3. Sprawdźmy, czy rzeczywiście jest najkrótszy: odcinek ukośny wraz z prostopadłym i kawałkiem prostej tworzy trójkąt prostokątny.
  4. Prostopadły jest w nim przyprostokątną, a ukośny — przeciwprostokątną.
  5. Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa, więc każdy ukośny odcinek musi mieć więcej niż 33 cm ✓
  6. Kontrola liczbowa dla odcinka 55 cm: jeśli prostopadły ma 33 cm, to trafia w prostą 44 cm dalej, bo 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ✓ A 3<53 < 5 ✓

Odpowiedź: Odległość wynosi 33 cm — tyle, ile odcinek prostopadły.

Podane długości 3,23{,}2 cm i 55 cm są większe od 33 cm i tak być musi. Gdyby w zadaniu pojawił się odcinek ukośny krótszy od prostopadłego, dane byłyby sprzeczne.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa dotyczą zapisu, dwa kolejne samych pojęć.

Pomylenie zapisu figury z zapisem długości

Skąd się bierze: Uczeń pisze „AB=5AB = 5 cm”, przyrównując figurę do liczby. Odcinek ABAB to zbiór punktów, a 55 cm to wynik pomiaru — to dwie różne rzeczy i nie można postawić między nimi znaku równości.

Jak zrobić dobrze: Długość zapisuj w kreskach pionowych: ∣AB∣=5|AB| = 5 cm. Zapamiętaj krótko: bez kresek rysujesz, w kreskach liczysz.

Traktowanie półprostej AB i BA jak tej samej figury

Skąd się bierze: Przy odcinku kolejność liter nie ma znaczenia, więc uczeń przenosi ten nawyk na półprostą. Ale półprosta ABAB zaczyna się w AA, a półprosta BABA w BB — biegną w przeciwne strony i są różnymi figurami.

Jak zrobić dobrze: Przy półprostej pierwsza litera to zawsze początek. Rysując ją, najpierw zaznacz punkt początkowy, a dopiero potem prowadź linię przez drugi punkt i dalej.

Mierzenie prostej

Skąd się bierze: W zadaniu pada pytanie o długość, a na rysunku jest prosta — uczeń mierzy więc kawałek widoczny na kartce. Ale prosta nie kończy się na krawędzi kartki i nie ma długości; zmierzony fragment jest przypadkowy.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy figura ma oba końce. Jeśli ma strzałki, jest prostą albo półprostą i długości nie ma. Pytanie o długość zawsze dotyczy odcinka.

Uznanie dowolnego odcinka za odległość od prostej

Skąd się bierze: Uczeń mierzy pierwszy narysowany odcinek łączący punkt z prostą. Odległością jest jednak wyłącznie odcinek prostopadły — każdy inny jest dłuższy, bo w powstałym trójkącie prostokątnym pełni rolę przeciwprostokątnej.

Jak zrobić dobrze: Zanim zmierzysz, sprawdź kąt przy prostej: musi być prosty. Jeśli w zadaniu nie zaznaczono kąta prostego, prawdopodobnie trzeba dorysować własny odcinek prostopadły.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Prawie każde zadanie z tego działu to jedno mnożenie — trzeba tylko wiedzieć, co przez co. Dlatego zielony jest wymiar na planie albo na rysunku (to, co mierzymy linijką), a czerwony — przelicznik skali, czyli liczba mówiąca, ile razy rzeczywistość jest większa. Wynik w terenie zostaje czarny, bo to on jest odpowiedzią.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (MM), wieży widokowej (WW) i schroniska (SS). Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Schronisko, wieża widokowa i muzeum — kierunki i odległości4 km3 km5 kmN↑SWM
Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.PF
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Najwygodniej ustawić schronisko SS w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
  2. S=(0, 0)S = (0,\ 0)  •  W=(−4, 3)W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})  •  M=(5, 0)M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)
  3. Zdanie 1. Odległość SS od MM mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: 5\textcolor{#16A06A}{5} km.
  4. Odległość SS od WW liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie 4\textcolor{#16A06A}{4} km w bok i 3\textcolor{#16A06A}{3} km w górę):
  5. 42+32=16+9=25=5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} km
  6. Obie odległości wynoszą 55 km ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt 33–44–55.)
  7. Zdanie 2. Z WW do MM przesuwamy się o 4+5=9\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9} km na wschód i 3\textcolor{#16A06A}{3} km na południe:
  8. 92+32=81+9=90≈9,5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5} km
  9. 9,5<10\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10 ✓ — prawda.
  10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z 10 km można zrobić bez pierwiastkowania: 90\sqrt{90} wobec 1010 to to samo co 9090 wobec 100100. Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa (9+3=129 + 3 = 12 km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali 1 : 5000 odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm. Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa
  • A. 4,24{,}2 m
  • B. 4242 m
  • C. 420420 m
  • D. 42004200 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Skala 1:50001 : \textcolor{#E0453A}{5000} znaczy: 1 cm na planie to 5000 cm w terenie.
  2. Krok 1 — mnożymy przez przelicznik.
  3. 8,4 cm⋅5000=42 000\textcolor{#16A06A}{8{,}4} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{5000} = 42\,000 cm
  4. Krok 2 — zamieniamy na metry. W metrze jest 100100 cm:
  5. 42 000:100=42042\,000 : 100 = 420 m.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Skrót wart zapamiętania: przy skali 1:50001:5000 1 cm na planie to 50 m w terenie (bo 50005000 cm =50= 50 m). Wtedy 8,4⋅50=4208{,}4 \cdot 50 = 420 m — jednym mnożeniem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na centymetrach albo podzielenie przez 10001000 zamiast przez 100100 (wychodzi wtedy 4242 m — odpowiedź B). Warto pilnować, w jakiej jednostce są odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4000. Dokończ zdanie.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
  • A. 320320 m
  • B. 500500 m
  • C. 32003200 m
  • D. 50005000 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Skala 1:40001 : \textcolor{#E0453A}{4000} znaczy, że 11 cm na planie odpowiada 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm w terenie.
  2. Krok 1 — odległość w centymetrach.
  3. 8 cm⋅4000=32 000\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000 cm
  4. Krok 2 — zamiana na metry.
  5. 32 000:100=32032\,000 : 100 = 320 m.
  6. Odpowiedź A.
  7. Szybciej: 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm =40= 40 m, więc 8⋅40=320\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320 m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź 32003200 m (czyli ponad 3 km między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez 1010 zamiast przez 100100 — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?
Listewka 50 cm z liniami cięcia co 5 cm i co 2 cmcięcia Iwony — co 5 cmcięcia Agaty — co 2 cm050 cm
  • A. 55
  • B. 44
  • C. 33
  • D. 22
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością 5\textcolor{#16A06A}{5} i wielokrotnością 2\textcolor{#16A06A}{2} — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
  2. NWW(5,2)=10\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10} cm
  3. Wypisujemy wielokrotności 10\textcolor{#E0453A}{10} mieszczące się na listewce:
  4. 10\textcolor{#E0453A}{10},  20\textcolor{#E0453A}{20},  30\textcolor{#E0453A}{30},  40\textcolor{#E0453A}{40} — to cztery miejsca.
  5. Uwaga na koniec listewki: 5050 cm to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
  6. Odpowiedź B — linie pokryły się 44 razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła 9 linii (5,10,…,455, 10, \ldots, 45), a Agata 24 (2,4,…,482, 4, \ldots, 48) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie 5050 cm i podanie odpowiedzi 55. Cięcie na nn równych części wymaga n−1n-1 nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Agata przygotowuje kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta o wymiarach 15 cm × 18 cm, ozdobioną wzorem z jednakowych kwadratów. Kwadraty są obrócone o 45°45° i stykają się wierzchołkami, tworząc łańcuszek wzdłuż krawędzi kartki: wzdłuż krótszego boku (15 cm) mieszczą się trzy takie kwadraty jeden za drugim, a wzdłuż dłuższego boku (18 cm) — cztery. Bok kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie 2≈1,4\sqrt{2} \approx 1{,}4. Zapisz obliczenia.
Kartka 15 cm × 18 cm z łańcuszkiem obróconych kwadratów wzdłuż krawędzi15 cm18 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 cm

  1. Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
  2. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku aa.
  3. d=a2≈1,4 ad = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}
  4. Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
  5. 3⋅1,4 a≤153 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  4,2 a≤154{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  a≤3,57…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots
  6. Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
  7. 4⋅1,4 a≤184 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  5,6 a≤185{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  a≤3,21…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots
  8. Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: a≤3,21\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21.
  9. Największa taka liczba całkowita to a=3\textcolor{#16A06A}{a} = 3 cm.
  10. Sprawdzenie: dla a=3a = 3 przekątna wynosi 4,24{,}2 cm, więc trzy przekątne to 12,6≤1512{,}6 \le 15 ✓, a cztery — 16,8≤1816{,}8 \le 18 ✓
  11. Dla a=4a = 4: przekątna 5,65{,}6 cm, trzy przekątne to już 16,8>1516{,}8 > 15 ✗ — nie mieści się.
  12. Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej (3a≤153a \le 15 daje a≤5a \le 5). Skoro kwadraty są obrócone o 45°45°, wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około 40%40\% dłuższy od boku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P2. C3. A4. B5. 3 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest półprosta?

Półprosta to część prostej, która ma początek w jednym punkcie i biegnie bez końca w jedną stronę. Punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie półproste o wspólnym początku — stąd nazwa. Półprostą zapisujemy dwiema literami: półprosta AB zaczyna się w punkcie A i biegnie przez punkt B. Na rysunku ma kropkę na początku i strzałkę po drugiej stronie. Półprosta nie ma długości, bo nie ma drugiego końca.

Czym różni się prosta od półprostej i odcinka?

Tym, gdzie się kończą. Prosta nie kończy się nigdzie i biegnie bez końca w obie strony, półprosta ma jeden koniec — początek, a odcinek ma dwa końce. Tylko odcinek ma długość, którą można zmierzyć.

Jak zapisuje się długość odcinka?

W kreskach pionowych: ∣AB∣=4,7|AB| = 4{,}7 cm. Sam zapis ABAB oznacza figurę, czyli odcinek jako zbiór punktów, a ∣AB∣|AB| — liczbę będącą wynikiem pomiaru. Dlatego „AB=4,7AB = 4{,}7 cm” jest zapisem niepoprawnym.

Czy półprosta AB to to samo co półprosta BA?

Nie. Pierwsza litera oznacza początek, więc półprosta ABAB zaczyna się w punkcie AA i biegnie przez BB, a półprosta BABA zaczyna się w BB i biegnie w przeciwną stronę. Przy odcinku i prostej kolejność liter jest natomiast obojętna.

Ile prostych przechodzi przez dwa punkty?

Dokładnie jedna — to jedno z podstawowych założeń geometrii. Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych, a przez trzy punkty niebędące na jednej linii nie przechodzi żadna wspólna prosta.

Co to jest odległość punktu od prostej?

Długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z tego punktu do prostej. Jest on najkrótszy ze wszystkich możliwych, bo każdy inny odcinek jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym, w którym prostopadły pełni rolę przyprostokątnej.

Czy prosta ma nieskończoną długość?

W szkolnej geometrii prostej po prostu się nie mierzy — nie ma dwóch końców, więc pytanie o jej długość jest nieadekwatne. Mierzy się odcinki; jeśli zadanie pyta o długość, chodzi o odcinek, nawet gdy narysowano prostą, na której leży.

Czytaj dalej

Geometria płaskaPozostałe tematy działu — figury, pola i obwodyKąty przy prostych równoległychRamiona kąta to półproste o wspólnym początkuJednostki długościMilimetry i centymetry przy mierzeniu odcinkówTwierdzenie PitagorasaStąd wiadomo, że odcinek prostopadły jest najkrótszy
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-24. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-24