Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 34, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej \(5\), w zapisie których występują tylko cyfry \(0\), \(1\), \(3\), \(5\).
Odpowiedź
\[3\,778\,930.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dzielimy liczby na cztery rozłączne grupy według pierwszej cyfry i rozkładu pozostałej sumy.
\(1\). Pierwsza cyfra \(5\), dalej same zera: \(1\) liczba.
\(2\). Pierwsza cyfra \(3\), dalej dwie jedynki: \(\binom{99}{2}=4851\) liczb.
\(3\). Pierwsza cyfra \(1\), dalej jedna cyfra \(3\) i jedna cyfra \(1\): \(99\cdot98=9702\) liczby.
\(4\). Pierwsza cyfra \(1\), dalej cztery jedynki: \(\binom{99}{4}=3\,764\,376\) liczb.
Suma wynosi
\[1+4851+9702+3\,764\,376=3\,778\,930.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 6 pkt** – poprawne cztery przypadki i wynik \(3\,778\,930\)
**4: 5 pkt** – poprawnie policzone co najmniej trzy przypadki i poprawna metoda
**2: 3 pkt** – poprawny podział według pierwszej cyfry i co najmniej dwa poprawne składniki
**1 pkt** – rozpoznanie konieczności osobnego potraktowania pierwszej, niezerowej cyfry
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
