Zadanie 3 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom rozszerzony

Iloczyn cyfr może być równy tylko \(0\), \(2\) albo \(4\). Liczb sześciocyfrowych zawierających cyfrę \(0\) jest \(9\cdot10^{5}-9^{6}=368559\). Iloczyn \(2\) daje \(6\) ustawień jednej cyfry \(2\), a iloczyn \(4\): \(6\) ustawień jednej cyfry \(4\) oraz \(\binom{6}{2}=15\) ustawień dwóch cyfr \(2\). Łącznie \(368559+6+6+15=368586\).

Przykładowe pełne rozwiązanie Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(4\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują: • dwie dwójki i cztery jedynki, albo • jedna czwórka i pięć jedynek. Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie dwójki i cztery jedynki jest (\(6\)) = \(15\). \(2\) Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna czwórka i pięć jedynek jest \(6\). Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) jest \(21\). Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(2\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek. Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\) jest \(6\). Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(0\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych pozycjach co najmniej jedno zero. Ponieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest \(9 ⋅ 105\), a wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest \(96\), więc wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) jest \(9 ⋅ 105\) − \(96 = 368\) \(559\). Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od \(5\) jest \(21 + 6 + 368\) \(559 = 368\) \(586\). Uwaga. Liczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) można obliczyć też w następujący sposób. Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie jeden raz jest (\(5\)) ⋅ \(95 = 295\) \(245\). \(1\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie dwa razy jest (\(5\)) ⋅ \(94 = 65\) \(610\). \(2\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie trzy razy jest (\(5\)) ⋅ \(93 = 7\) \(290\). \(3\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie cztery razy jest (\(5\)) ⋅ \(92 = 405\). \(4\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie pięć razy jest (\(5\)) ⋅ \(91 = 9\). \(5\) Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) jest \(295\) \(245 + 65\) \(610 + 7\) \(290 + 405 + 9 = 368\) \(559\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(368\,586\). **2 pkt** – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) (np. \(\binom{6}{2}+6\)) oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\): \(6\), oraz wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) (np. \(9\cdot10^5-9^6\)). **1 pkt** – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) (np. \(\binom{6}{2}+6\)) oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\): \(6\) ALBO – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\), np.: \(9\cdot10^5-9^6\), \(5\cdot9^5+\binom{5}{2}\cdot9^4+\binom{5}{3}\cdot9^3+\binom{5}{4}\cdot9^2+\binom{5}{5}\cdot9\), \(368\,559\), ALBO – wypisanie wszystkich przypadków, dla których iloczyn cyfr będzie liczbą parzystą mniejszą od \(5\): jedna dwójka i pięć jedynek, dwie dwójki i cztery jedynki, jedna czwórka i pięć jedynek, co najmniej jedno zero. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.