Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 33, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(24\).
Odpowiedź
\[896.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(24=3\cdot2^3\), cyfry różne od \(1\) mogą tworzyć dokładnie pięć rozłącznych układów; pozostałe miejsca wypełniają jedynki. Liczby permutacji dla kolejnych multizbiorów cyfr są następujące:
\[\{3,2,2,2,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{3!4!}=280,\]
\[\{3,4,2,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{5!}=336,\]
\[\{3,8,1,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{6!}=56,\]
\[\{6,4,1,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{6!}=56,\]
\[\{6,2,2,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{2!5!}=168.\]
Zatem wszystkich liczb jest
\[280+336+56+56+168=896.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawne rozpatrzenie wszystkich pięciu przypadków i wynik \(896\)
**6 pkt** – wszystkie przypadki i poprawne metody z jednym błędem rachunkowym
**5 pkt** – poprawne rozpatrzenie czterech przypadków
**4 pkt** – poprawne rozpatrzenie trzech przypadków
**3 pkt** – poprawne rozpatrzenie dwóch przypadków
**2 pkt** – poprawne rozpatrzenie jednego przypadku i zauważenie potrzeby podziału na przypadki
**1 pkt** – rozkład \(24=3\cdot2^3\) i rozpoczęcie poprawnego zliczania
**0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
