Liczby rzeczywiste
Zadanie 29, maj 2026, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) (np. \(321\), \(555\)), jest
A. \(6 \cdot 7 \cdot 3\)
B. \(6 \cdot 7 \cdot 7\)
C. \(7 \cdot 7 \cdot 3\)
D. \(7 \cdot 7 \cdot 7\)
Podpowiedź
Rozpatrz osobno cyfrę setek, dziesiątek i jedności.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Stosujemy regułę mnożenia z ograniczeniem pierwszej cyfry i warunkiem nieparzystości.
Rozwiązanie
Cyfrę setek wybieramy spośród \(1,2,3,4,5,6\), więc mamy \(6\) możliwości. Cyfra dziesiątek może być dowolną z \(7\) podanych cyfr. Cyfra jedności musi być nieparzysta, czyli wybieramy ją spośród \(1,3,5\), co daje \(3\) możliwości. Łącznie \[6\cdot7\cdot3.\] Poprawna jest odpowiedź A.
Sprawdzenie
Cyfra \(0\) została wykluczona tylko z miejsca setek, a powtórzenia cyfr są dozwolone.
Odpowiedź
A. \(6\cdot 7\cdot 3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie na regułę mnożenia: liczbę trzycyfrową budujemy pozycja po pozycji (setki, dziesiątki, jedności) i na każdej pozycji liczymy, ile cyfr wolno wstawić. Wynik to iloczyn tych liczb. Dozwolonych cyfr jest siedem: \(0,1,2,3,4,5,6\), i mogą się powtarzać.
**Krok \(2\).** Cyfra setek. Liczba ma być trzycyfrowa, więc nie może zaczynać się od \(0\). Z siedmiu dozwolonych cyfr odpada zero, zostaje
\[7-1=6\ \text{możliwości}.\]
**Krok \(3\).** Cyfra dziesiątek. Tu nie ma żadnego ograniczenia, więc wolno wstawić każdą z dozwolonych cyfr:
\[7\ \text{możliwości}.\]
**Krok \(4\).** Cyfra jedności. Liczba ma być nieparzysta, a o tym decyduje ostatnia cyfra. Nieparzyste cyfry ze zbioru \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\) to \(1\), \(3\), \(5\), czyli
\[3\ \text{możliwości}.\]
**Krok \(5\).** Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi
\[6\cdot 7\cdot 3\ (=126).\]
**Uwaga.** Cyfry mogą się powtarzać (przykład \(555\) w treści), więc wybór na jednej pozycji nie zmniejsza liczby możliwości na następnych. W odpowiedziach podano wyrażenia, a nie wyniki - wskazujemy \(6\cdot 7\cdot 3\), bez wymnażania.
**Odpowiedź.** A: \(6\cdot 7\cdot 3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania […].
