Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 32, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr \(1\), \(2\) i \(3\), wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać.
Odpowiedź
\[5994.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Istnieje \(3^3=27\) takich liczb. Na każdym z trzech miejsc każda z cyfr \(1,2,3\) występuje dokładnie \(3^2=9\) razy. Suma wkładów cyfr na miejscu setek, dziesiątek i jedności wynosi więc odpowiednio
\[9(1+2+3)\cdot100=5400,\]
\[9(1+2+3)\cdot10=540,\]
\[9(1+2+3)=54.\]
Zatem szukana suma jest równa
\[5400+540+54=5994.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna suma \(5994\) z uzasadnieniem
**3 pkt** – poprawne policzenie wkładów wszystkich trzech pozycji z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – zauważenie, że każda cyfra występuje po \(9\) razy na każdym miejscu
**1 pkt** – poprawne ustalenie liczby \(27\) rozpatrywanych liczb
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
