Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 31, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje \(0\) i na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste.
Odpowiedź
\[1\,050\,000.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wybieramy dwa spośród siedmiu miejsc dla cyfr parzystych:
\[\binom72=21.\]
Ponieważ zero nie może wystąpić, na każdym z tych dwóch miejsc możemy umieścić jedną z czterech cyfr \(2,4,6,8\), co daje \(4^2\) możliwości. Na każdym z pięciu pozostałych miejsc umieszczamy jedną z pięciu cyfr nieparzystych \(1,3,5,7,9\), co daje \(5^5\) możliwości. Z reguły mnożenia
\[\binom72\cdot4^2\cdot5^5=21\cdot16\cdot3125=1\,050\,000.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – poprawny wynik \(1\,050\,000\) z pełnym zliczeniem
**2 pkt** – poprawny iloczyn \(\binom72\cdot4^2\cdot5^5\) z błędem rachunkowym
**1 pkt** – poprawne wybranie miejsc \(\binom72\) albo poprawne policzenie obsadzenia wybranych miejsc
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
