Graniastosłupy
Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) (zobacz rysunek), którego krawędź ma długość \(15\). Punkty \(Q\) i \(R\) dzielą krawędzie \(HG\) i \(FG\) w stosunku \(2:1\), to znaczy \(|HQ|=|FR|=10\). Płaszczyzna \(AQR\) przecina krawędzie \(DH\) i \(BF\) odpowiednio w punktach \(P\) i \(S\). Oblicz długości odcinków \(DP\) i \(BS\).
Odpowiedź
\[DP=BS=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozważmy kwadrat \(EFGH\) i niech \(T\) będzie punktem przecięcia przedłużeń prostych \(QR\) i \(EF\). Trójkąty prostokątne \(RFT\) i \(RGQ\) są podobne. Ponieważ \(RG=5\), \(GQ=5\) i \(FR=10\), otrzymujemy \(FT=10\).
W kwadracie \(ABFE\) trójkąty prostokątne \(ABS\) i \(TFS\) są podobne. Oznaczmy \(SF=x\), wtedy \(BS=15-x\). Z podobieństwa
\[\frac{SF}{FT}=\frac{BS}{AB},\qquad \frac{x}{10}=\frac{15-x}{15}.\]
Stąd \(15x=150-10x\), więc \(x=6\) i \(BS=9\). Punkty \(B\) i \(D\) są symetryczne względem płaszczyzny \(ACGE\), a płaszczyzna przekroju zachowuje tę symetrię. Zatem \(DP=BS=9\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(DP=BS=9\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(BS=9\) i wskazanie symetrii
**2 pkt** – poprawne podobieństwa i równanie \(\frac{x}{10}=\frac{15-x}{15}\)
**1 pkt** – poprawna konstrukcja punktu \(T\) i wyznaczenie \(FT=10\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
9.2. R. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
9.1. Zdający rozpoznaje kąty między odcinkami i oblicza ich miary.
7.4. R. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne oraz wykorzystuje ich własności.
