Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 41, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w zapisie dziesiętnym tych liczb jest jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.
**Uwaga:** zero jest liczbą parzystą.
Odpowiedź
Wszystkich takich liczb jest \(2125\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki.
Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to wybieramy ją na \(5\) sposobów, a każdą z trzech cyfr parzystych na \(5\) sposobów (włącznie z zerem). Otrzymujemy
\[5^4=625.\]
Jeżeli pierwsza cyfra jest parzysta, ale różna od zera, mamy \(4\) możliwości. Jedną z pozostałych trzech pozycji wybieramy dla cyfry nieparzystej na \(3\) sposoby, a cyfry na tych pozycjach na \(5^3\) sposobów. Otrzymujemy
\[4\cdot3\cdot5^3=1500.\]
Łącznie
\[625+1500=2125.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawny wynik \(2125\) z pełnym rozbiciem na przypadki
**3 pkt** – poprawne policzenie obu przypadków z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – poprawny podział według parzystości pierwszej cyfry i poprawne policzenie jednego przypadku
**1 pkt** – rozpoznanie, że zero nie może być pierwszą cyfrą liczby czterocyfrowej
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, oraz stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.
