Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 40, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości \(d\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\sin\alpha=0{,}2\). Podaj objętość tego graniastosłupa w zależności od \(d\).
Odpowiedź
\[V=\frac{12}{125}d^3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(h\) oznacza wysokość graniastosłupa. Z definicji sinusa kąta nachylenia przekątnej do podstawy
\[\frac hd=\sin\alpha=0{,}2=\frac15,\]
zatem \(h=\frac d5\). Jeżeli \(p\) jest przekątną kwadratowej podstawy, to z twierdzenia Pitagorasa
\[p^2=d^2-h^2=d^2-\frac{d^2}{25}=\frac{24}{25}d^2.\]
Pole kwadratu wyrażone przez jego przekątną jest równe
\[P_p=\frac{p^2}{2}=\frac{12}{25}d^2.\]
Stąd objętość wynosi
\[V=P_p\cdot h=\frac{12}{25}d^2\cdot\frac d5=\frac{12}{125}d^3.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna objętość \(\frac{12}{125}d^3\) z pełnym uzasadnieniem
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości i pola podstawy, z drobną usterką końcową
**2 pkt** – wyznaczenie \(h=\frac d5\) oraz \(p^2=\frac{24}{25}d^2\)
**1 pkt** – poprawne użycie zależności \(\frac hd=\sin\alpha\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
