Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 95, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).
Odpowiedź
\(10392\)
Rozwiązanie krok po kroku
Liczb trzycyfrowych o cyfrach ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\) jest \(3\cdot4\cdot4=48\): cyfra setek musi być niezerowa (\(3\) możliwości), a dwie pozostałe są dowolne (po \(4\) możliwości).
Sumę liczymy pozycjami: każdą liczbę zapisujemy jako \(100s+10d+j\), więc szukana suma to
\[100\sum s+10\sum d+\sum j,\]
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich \(48\) liczbach.
**Cyfry setek.** Każda z cyfr \(1\), \(2\), \(3\) występuje na tym miejscu w \(4\cdot4=16\) liczbach, więc
\[\sum s=16\cdot(1+2+3)=16\cdot6=96.\]
**Cyfry dziesiątek.** Ustalając cyfrę dziesiątek, mamy \(3\) możliwości dla setek i \(4\) dla jedności, czyli każda z cyfr \(0,1,2,3\) występuje tu w \(12\) liczbach:
\[\sum d=12\cdot(0+1+2+3)=12\cdot6=72.\]
**Cyfry jedności.** Analogicznie \(\sum j=72\).
Zatem suma wynosi
\[100\cdot96+10\cdot72+72=9600+720+72=10\,392.\]
**Odpowiedź.** \(10\,392\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(10392\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.
