Trójkąty
Zadanie 94, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\angle CAD|=|\angle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC|=|CE|\).
Odpowiedź
\[\lvert AC\rvert=\lvert CE\rvert.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\beta=\lvert\angle ABC\rvert\) oraz \(\delta=\lvert\angle DAE\rvert=\lvert\angle EAB\rvert\) (półprosta \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\)). Z założenia \(\lvert\angle CAD\rvert=\beta\).
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a \(E\) na boku \(AB\), więc półprosta \(AD\) leży wewnątrz kąta \(CAB\) i
\[\lvert\angle CAE\rvert=\lvert\angle CAD\rvert+\lvert\angle DAE\rvert=\beta+\delta.\]
Kąt \(AEC\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \(ABE\) przy wierzchołku \(E\), więc jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych:
\[\lvert\angle AEC\rvert=\lvert\angle ABE\rvert+\lvert\angle EAB\rvert=\beta+\delta.\]
Zatem w trójkącie \(ACE\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(E\) mają równe miary, czyli trójkąt ten jest równoramienny o podstawie \(AE\). Naprzeciw równych kątów leżą równe boki, więc
\[\lvert CA\rvert=\lvert CE\rvert,\]
co należało udowodnić.
**Odpowiedź.** \(\lvert AC\rvert=\lvert CE\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
