Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 78, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?
Odpowiedź
\(9\) liczb
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(A\) oznacza zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(15\), a \(B\) — podzielnych przez \(20\). Szukamy liczności sumy \(A\cup B\), a zbiory mogą mieć część wspólną, więc stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń:
\[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\]
Wielokrotności \(15\) wśród liczb dwucyfrowych to \(15,30,45,60,75,90\), czyli \(|A|=6\).
Wielokrotności \(20\) to \(20,40,60,80\), czyli \(|B|=4\).
Część wspólna to liczby podzielne przez \(\operatorname{NWW}(15,20)=60\); wśród liczb dwucyfrowych jest tylko \(60\), więc \(|A\cap B|=1\).
Zatem
\[6+4-1=9.\]
**Odpowiedź.** \(9\) liczb
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(9\) liczb
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.
