Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 77, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje
jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.
Odpowiedź
\(2125\)
Rozwiązanie krok po kroku
Cyfr nieparzystych jest \(5\) (\(1,3,5,7,9\)) i cyfr parzystych też \(5\) (\(0,2,4,6,8\) — zero jest parzyste).
Rozbijamy zliczanie według miejsca, na którym stoi jedyna cyfra nieparzysta, bo od niego zależy warunek na cyfrę tysięcy.
**Cyfra nieparzysta na miejscu tysięcy.** Wybieramy ją na \(5\) sposobów (żadna cyfra nieparzysta nie jest zerem), a każdą z trzech pozostałych cyfr parzystych na \(5\) sposobów. Daje to \(5\cdot5^3=625\) liczb.
**Cyfra nieparzysta na jednym z trzech dalszych miejsc.** Miejsce wybieramy na \(3\) sposoby, samą cyfrę na \(5\) sposobów. Cyfra tysięcy musi być parzysta i niezerowa, czyli ma \(4\) możliwości, a dwie pozostałe cyfry parzyste po \(5\) możliwości. Daje to \(3\cdot5\cdot4\cdot5^2=1500\) liczb.
Przypadki są rozłączne, zatem
\[625+1500=2125.\]
**Odpowiedź.** \(2125\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(2125\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.
