Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 32, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr \(1\), \(2\) i \(3\). Cyfry mogą się powtarzać.
Odpowiedź
\[5994.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Istnieje \(3^3=27\) takich liczb. Na każdej pozycji każda z cyfr \(1,2,3\) występuje dokładnie \(3^2=9\) razy. Suma cyfr na jednej pozycji wynosi więc
\[9(1+2+3)=54.\]
Po uwzględnieniu wartości pozycyjnych otrzymujemy
\[54\cdot100+54\cdot10+54=54(100+10+1)=5994.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawny wynik \(5994\) z pełnym uzasadnieniem
**3 pkt** – poprawne zsumowanie wkładów setek, dziesiątek i jedności z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – zauważenie, że każda cyfra występuje po \(9\) razy na każdej pozycji
**1 pkt** – poprawne ustalenie, że istnieje \(27\) liczb, lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
