Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 31, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie ma zera i na dokładnie dwóch miejscach są cyfry parzyste.
Odpowiedź
\[1\,050\,000.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wybieramy dwa spośród siedmiu miejsc dla cyfr parzystych na \(\binom72=21\) sposobów. Ponieważ zero jest wykluczone, na każdym z tych miejsc można wpisać jedną z czterech cyfr \(2,4,6,8\), co daje \(4^2\) możliwości. Na każdym z pozostałych pięciu miejsc wybieramy jedną z pięciu cyfr nieparzystych \(1,3,5,7,9\), czyli mamy \(5^5\) możliwości. Łącznie
\[\binom72\cdot4^2\cdot5^5=21\cdot16\cdot3125=1\,050\,000.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – poprawny wynik \(1\,050\,000\) z pełnym uzasadnieniem
**2 pkt** – poprawny iloczyn \(\binom72\cdot4^2\cdot5^5\) bez poprawnego wyniku końcowego
**1 pkt** – poprawne wybranie miejsc na cyfry parzyste albo poprawne policzenie możliwości ich obsadzenia
**0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
