Graniastosłupy
Zadanie 30, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) (zobacz rysunek), którego krawędź ma długość \(15\). Punkty \(Q\) i \(R\) dzielą krawędzie \(HG\) i \(FG\) w stosunku \(2:1\), to znaczy \(HQ=FR=10\). Płaszczyzna \(AQR\) przecina krawędź \(DH\) w punkcie \(P\), a krawędź \(BF\) w punkcie \(S\). Oblicz długości odcinków \(DP\) i \(BS\).
Odpowiedź
\[DP=BS=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozważamy kwadrat \(EFGH\) i punkt \(T\), w którym przedłużenie prostej \(QR\) przecina przedłużenie \(EF\). Ponieważ \(QG=5\), \(RG=5\) i \(RF=10\), trójkąty prostokątne \(RFT\) i \(RGQ\) są podobne, skąd \(FT=10\).
W kwadracie \(ABFE\) punkty \(A,S,T\) są współliniowe. Oznaczmy \(BS=x\), wtedy \(SF=15-x\). Z podobieństwa trójkątów \(ABS\) i \(TFS\) otrzymujemy
\[\frac{SF}{BS}=\frac{TF}{AB},\qquad \frac{15-x}{x}=\frac{10}{15}.\]
Zatem \(15(15-x)=10x\), czyli \(x=9\). Otrzymujemy \(BS=9\). Z symetrii sześcianu względem płaszczyzny \(ACGE\) wynika \(DP=BS\), dlatego \(DP=9\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne otrzymanie \(DP=BS=9\)
**3 pkt** – poprawne obliczenie jednej z długości i uzasadnienie symetrii lub poprawna metoda obliczenia drugiej
**2 pkt** – poprawne zastosowanie podobieństwa prowadzące do równania \(\frac{15-x}{x}=\frac{10}{15}\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie pomocniczej długości \(FT=10\) lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii rozwiązywania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
9.2. R. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
9.1. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi itp.), oblicza miary tych kątów.
7.4. R. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności.
