Ostrosłupy
Zadanie 33, sierpień 2011, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości:
\[
|AW|=6,\qquad |BW|=9,\qquad |CW|=7.
\]
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=8\sqrt{10}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|AD|=a\), \(|AB|=b\) oraz \(|DW|=h\). Krawędź \(DW\) jest wysokością ostrosłupa, więc jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a zatem także do prostych \(AD\) i \(DC\) leżących w tej płaszczyźnie.
Ponieważ \(AB\perp AD\) i \(AB\perp DW\), prosta \(AB\) jest prostopadła do płaszczyzny \(ADW\), więc trójkąt \(BAW\) jest prostokątny. Analogicznie prostokątny jest trójkąt \(BCW\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[a^{2}+|CW|^{2}=|BW|^{2},\qquad b^{2}+|AW|^{2}=|BW|^{2},\]
czyli \(a^{2}+49=81\) oraz \(b^{2}+36=81\). Stąd
\[a=\sqrt{32}=4\sqrt2,\qquad b=\sqrt{45}=3\sqrt5.\]
Wysokość wyznaczamy z trójkąta prostokątnego \(ADW\):
\[h^{2}=|AW|^{2}-a^{2}=36-32=4,\qquad h=2.\]
Objętość ostrosłupa o podstawie prostokątnej jest równa
\[V=\frac13\cdot a\cdot b\cdot h=\frac13\cdot4\sqrt2\cdot3\sqrt5\cdot2=8\sqrt{10}.\]
**Odpowiedź.** \(V=8\sqrt{10}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wykorzystanie prostokątności trójkątów \(BAW\) i \(BCW\) i zapisanie równania, z którego można obliczyć krawędź podstawy, np. \(a^{2}+49=81\)
**2 pkt** – obliczenie obu krawędzi podstawy: \(a=4\sqrt2\) i \(b=3\sqrt5\)
**3 pkt** – obliczenie wszystkich odcinków potrzebnych do objętości: \(h=2\), \(a=4\sqrt2\), \(b=3\sqrt5\)
**4 pkt** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=8\sqrt{10}\)
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza objętość ostrosłupa z zależności Pitagorasa.
