Inne zagadnienia
Zadanie 30, maj 2026, poziom podstawowy
Dane są dwa zbiory cyfr: \(X = {1, 3, 5, 7, 9}\) oraz \(Y = {0, 2, 4, 6, 8}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a następnie jedną cyfrę ze zbioru Y. Zapisujemy liczbę dwucyfrową tak, że cyfra ze zbioru X jest cyfrą dziesiątek, a cyfra ze zbioru Y – cyfrą jedności.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez \(6\). Zapisz obliczenia.
Podpowiedź
Liczba jest już parzysta; pozostaje sprawdzić podzielność sumy cyfr przez \(3\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Spośród \(25\) jednakowo prawdopodobnych par cyfr liczymy te, które tworzą wielokrotności liczby \(6\).
Rozwiązanie
Wszystkich wyników jest \(5\cdot5=25\). Liczby podzielne przez \(6\) to \[12,18,30,36,54,72,78,90,96,\] czyli \(9\) wyników. Zatem \[P(A)=\frac{9}{25}.\]
Sprawdzenie
Każda z wypisanych liczb jest parzysta i ma sumę cyfr podzielną przez \(3\); innych par spełniających oba warunki nie ma.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{9}{25}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniem elementarnym jest para: cyfra dziesiątek ze zbioru \(X\) i cyfra jedności ze zbioru \(Y\). Oba zbiory są pięcioelementowe, a wybory niezależne, więc z reguły mnożenia
\[|\Omega|=5\cdot5=25,\]
przy czym wszystkie te wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Liczba jest podzielna przez \(6\) dokładnie wtedy, gdy jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\). Cyfra jedności pochodzi ze zbioru \(Y=\{0,2,4,6,8\}\), więc każda otrzymana liczba jest parzysta — pozostaje warunek podzielności przez \(3\), czyli podzielność sumy cyfr.
Sprawdzamy kolejne cyfry dziesiątek:
\[12,\;18,\quad 30,\;36,\quad 54,\quad 72,\;78,\quad 90,\;96.\]
Zdarzeniu \(A\) sprzyja więc \(|A|=9\) wyników.
Z definicji klasycznej
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{25}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{9}{25}\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P(A)=\frac9{25}\)
**1 pkt** – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych albo podanie ich liczby \(|\Omega|=5\cdot5=25\), albo sporządzenie tabeli o \(25\) polach lub pełnego drzewa stochastycznego
ALBO – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) i niewypisanie żadnego niewłaściwego
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymaganie szczegółowe:**
XII.1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
