Stereometria
Zadanie 28, maj 2026, poziom podstawowy
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy dłuższy od promienia podstawy walca.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy
A. \(\frac{1}{12}\)
B. \(\frac{1}{6}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{4}{3}\)
Podpowiedź
Zapisz oba wzory na objętość przy wspólnej wysokości \(h\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Promień stożka jest równy \(2r\), więc jego kwadrat daje czynnik \(4\).
Rozwiązanie
Niech promień walca będzie równy \(r\). Wtedy promień stożka wynosi \(2r\). Otrzymujemy \[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{\frac13\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\frac43.\] Poprawna jest odpowiedź D.
Sprawdzenie
Czynnik \(4\) wynikający z pola podstawy stożka zostaje pomnożony przez czynnik \(\frac13\) ze wzoru na jego objętość.
Odpowiedź
**D.** \(\frac43\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy promień podstawy walca przez \(r\); wtedy promień podstawy stożka wynosi \(2r\), a wspólna wysokość — \(h\).
\[V_{\text{st}}=\frac13\pi(2r)^{2}h=\frac43\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{w}}=\pi r^{2}h.\]
Stąd
\[\frac{V_{\text{st}}}{V_{\text{w}}}=\frac{\frac43\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac43.\]
**Odpowiedź.** Stosunek jest równy \(\frac43\), czyli wariant **D**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.5) Zdający oblicza objętości […] walca, stożka […].
