Zadanie 8 – matura z matematyki maj 2024, poziom rozszerzony

\(11040\). Liczymy wszystkie ustawienia: C(\(5\),\(3\))·C(\(5\),\(2\))·\(5\)!=\(12000\), a następnie odejmujemy zapisy rozpoczynające się zerem: C(\(5\),\(3\))·C(\(4\),\(1\))·\(4\)!=\(960\).

Liczba spełniająca warunki ma dokładnie \(5\) cyfr, wszystkie różne: trzy nieparzyste i dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), a parzystych \(5\) (razem z zerem). Zbiór użytych cyfr wybieramy więc na \[\binom53\cdot\binom52=10\cdot10=100\] sposobów, a każdy taki pięcioelementowy zbiór można ustawić w ciąg na \(5!=120\) sposobów. Daje to \[100\cdot120=12\,000\] ustawień — ale wśród nich są zapisy zaczynające się zerem, które nie są liczbami pięciocyfrowymi. Zliczamy je osobno. Jeśli pierwsza cyfra to \(0\), to zero jest jedną z dwóch cyfr parzystych, więc drugą wybieramy spośród pozostałych czterech cyfr parzystych na \(\binom41=4\) sposoby, trzy cyfry nieparzyste na \(\binom53=10\) sposobów, a cztery pozostałe pozycje wypełniamy na \(4!=24\) sposoby: \[10\cdot4\cdot24=960.\] Zatem szukanych liczb jest \[12\,000-960=11\,040.\] **Odpowiedź.** \(11\,040\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(11\,040\). **2 pkt** – zapisanie \(L_{1}\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot 5!\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\) ALBO – zapisanie \(L_{2}\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\), ALBO – zapisanie \(P\): \(4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(N\): \(5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\): \(4\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 4\cdot 3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((n,n,n,p,p)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(Z^{-}\): \(10\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 4\cdot 3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,n,0)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\). **1 pkt** – zapisanie \(L_{1}\) (lub \(L_{2}\)), np. \(L_{1}=\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot 5!\), \(L_{2}=\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot 4!\) ALBO – zapisanie \(P\) (lub \(N\)), np. \(P=4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot 4!\), \(N=5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 4!\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\) (lub \(Z^{-}\)), np. \(Z^{+}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 4\cdot 3=3\,840\), \(Z^{-}=10\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=7\,200\), ALBO – zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\), ALBO – zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\)) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1R) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.